Định lý Pythagores

Định lý Pytago
Trong toán học, định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagore theo tiếng Pháp hay định lý Pythagorastes theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của một tam giác vuông.
Định lý này được đặt tên theo nhà vật lí học và nhà toán học Hy Lạp.Pytago sống vào thế kỷ 6 TCN, mặc dù định lý toán học này đã được biết đến bởi các nhà toán học La Mã (trong quyển Sulbasutra của Baudhayana và Katyayana),Trung Quốc và Babylon từ nhiều thế kỷ trước.
Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pytago được cho là nằm trong quyển Chu bễ toán kinh () khoảng năm 500 đến 200TCN và Các nguyên tố của Euclid khoảng 300 năm TCN.
Định lý
Cách phát biểu của Euclide:
Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.
Một tam giác vuông là một tam giác có một góc vuông; các cạnh kề góc vuông đó còn gọi là cạnh góc vuông thuộc tam giác đó; cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông. Trong hình vẽ dưới, a và b là các cạnh kề(cạnh góc vuông), c là cạnh huyền:


Pytago đã phát biểu định lý mang tên ông trong cách nhìn của hình học phẳng thông qua:
Diện tích hình vuông tím(hinh c) bằng tổng diện tích hình vuông đỏ (b) và xanh lam (a).
Tương tự, quyển Tsubasa chép:
Một dây thừng nối dọc đường chéo hình chữ nhật tạo ra một diện tích bằng tổng diện tích tạo ra từ cạnh ngang và cạnh dọc của hình chữ nhật đó.
Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số, có thể viết định lý Pytago dưới dạng hiện đại, chú ý rằng diện tích một hình vuông bằng bình phương độ dài của cạnh hình vuông đó:
Nếu một tam giác vuông có cạnh kề dài bằng a và b và cạnh huyền dài c, thì a2 + b2 = c2
Định lý đảo
Định lý đảo Pytago phát biểu là:
Cho ba số thực dương a, b, và c thỏa mãn a2 + b2 = c2, tồn tại một tam giác có các cạnh là a, b và c, và góc giữa a và b là một góc vuông.
Định lý đảo này cũng xuất hiện trong quyển Các nguyên tố và được phát biểu bởi Euclid là:
Nếu bình phương của một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia, thì tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vuông.
Định lý tổng quát
Kết hợp cả định lý thuận và đảo, có thể viết định lý Pytago dưới dạng:
Một tam giác có ba cạnh a, b và c, thì nó là tam giác vuông với góc vuông giữa a và b khi và chỉ khi a2 + b2 = c2
Dùng khái niệm véctơ, có thể phát biểu định lý này là:
Cho hai véctơ 
 và 
, 
 khi và chỉ khi 
 và 
 vuông góc với nhau.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác của các véctơ, định lý Pytago trở thành trường hợp đẳng thức của bất đẳng thức tam giác:


tương đương


Chứng minh bằng đại số



Định lý có thể chứng minh bằng phương pháp đại số khi sử dụng 4 tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và c, các tam giác này được sắp xếp thành một hình vuông lớn có cạnh là cạnh huyền c. Các tam giác bằng nhau có diện tích 
, khi đó hình vuông nhỏ bên trong có cạnh là b − a và diện tích là(b − a)2. Diện tích của hình vuông lớn là


Vì hình vuông lớn có cạnh là c và có diện tích c2, nên


Một cách chứng minh tương tự là xăp xếp 4 hình tam giác vuông trên xung quanh một hình vuông có cạnh là `c (hình dưới).] Kết quả tạo ra một hình vuông lớn hơn có cạnh là a + b và diện tích (a + b)2. Tổng diện tích 4 tam giác và hình vuông có cạnh c bằng với diện tích của hình vuông lớn hơn,


ta có





Biểu đồ chứng minh của Garfield
Một phương pháp chứng minh nữa do cựu tổng thống Mỹ James A. Garfield đưa ra. Thay vì sử xếp thành hình vuông, ông sử dụng hình thang, hình thang này có thể xây dựng từ hình vuông theo cách chứng minh thứ 2 ở trên bằng cách cắt thành 2 hình thang dọc theo đường chéo của hình vuông bên trong. Diện tích của hình thang bằng 1/2 diện tích của hình vuông lớn:


Hìng vuông bên trong tương tự cũng giảm đi 1/2, và chỉ có 2 tam giác khi đó các bước chứng minh có thể tính tương tự như trên trừ hệ số 
, hệ số này đã bị loại ra bằng cách nhân