Điều kiện để có số nguyên tố Mecxen

ĐIỀU KIỆN ĐỂ CÓ ĐƯỢC MỘT
SỐ NGUYÊN TỐ MECXEN .

( Tặng đến các bạn yêu môn số học ) NGÔ VĂN PHƯƠNG
Trường THCS Thạnh nhựt
Gò Công Tây- Tiền Giang
I. Đặt vấn đề :
❶ Xét chuổi số sau :
U = { un n ∈ ℕ ; un = 2n – 1 } = { 0 ; 1 ; 3 ; 7 ; 15; 31; .....}
Ta thấy : u2 = 3 , u3 = 7 , u5 = 31 .....thường là những số nguyên tố .
❷ Bằng nhận định như vậy ! Nhà toán học Mecxen đã đưa ra một giả thiết rằng : << Nếu p∈ ℘ ( p là số nguyên tố ) thì up = 2p- 1 là một số nguyên tố >>.
❸ Từ đó , giả thiết trên được mang tên ông . Sau đó người ta lại thấy rằng với p = 11 thì u11 = 211 – 1 = 2047 = 23 . 89 đây là một bằng chứng hùng hồn cho thấy giả thiết về số nguyên tố Mecxen sai trong trường hợp p=11 .( Nó còn sai trong nhiều trường hợp khác nữa ! ) .
❹ Người ta đã chứng minh được rằng << Nếu un ∈ ℘ thì n ∈ ℘ >> .
Nếu up là một số nguyên tố , người ta gọi Up là số nguyên tố Mecxen .
❺ Vấn đề đặt ra cho chúng ta ở đây là << Số nguyên tố p cần phải có điều kiện gì để cho up là một số nguyên tố Mecxen ? >>

II. Một số bổ đề :
Chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của chuổi số U .
❶ Bổ đề 1: << Với mỗi số p∈ ℘ và p> 2 , thì tồn tại một số nhỏ nhất e ∈ℕ+
sao cho ue ( p >> .
Ta nhận thấy rằng :
_ Theo định lí Phec-ma nhỏ, ta có 2p-1 ≡ 1 ( mod p )
( 2p-1 – 1 ≡ 0 ( mod p ) ( u( p-1) ≡ 0 ( mod p )
( Nếu k = p-1 thì uk ( p
( Tồn tại một tập hợp những số k ∈ ℕ+ để uk ( p
( Vì tập hợp những số k ∈ ℕ+ , k > 0 ( bị chặn dưới ) nên theo định lí
Weiestrass thì ∃ e∈ ℕ+, e là nhỏ nhất để ue ( p đ.p.c.m.
_ Chú ý : + Dễ thấy rằng 2 < e ≤ ( p-1)
+ << Nếu số nhỏ nhất e ∈ ℕ+ và ue ( p thì uke ( p >> ( ∀ k ∈ ℕ ).
Thật vậy ! ta dễ dàng chứng minh được điều nầy bằng hằng
đẳng thức : uke = 2ke – 1 = ( 2e)k – 1k
= ( 2e - 1) [( 2e)k-1+ ( 2e)k-2+ ... + (2e) + 1 ]
= ue . [ (2e)k-1 + .......... + 1 ] .
( uke ( ue và ue ( p ( uke ( p đ.p.c.m.
Ngược lại , ta có bổ đề sau :
❷ Bổ đề 2 : << Với mổi số nguyên tố p cho trước, với mọi số n∈ ℕ và e là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho un ( p và ue ( p thì ta có n( e >> .
Giả sử n không chia hết cho số e . Thế thì ∃ k, m ∈ℕ ; 1 ≤ m < e sao cho : n = ke + m
( un = 2n - 1 = 2ke+m - 1 ( ( 2ke+m – 1) ( p và (2e – 1 ) ( p
( {( 2ke+m – 1) - ( 2e – 1 ) } ( p ( (2ke. 2m - 2e ) ( p
( ( 2ke. 2m - 2m + 2m - 2e ) ( p ( {( 2ke. 2m – 2m) – (2e – 2m)} ( p
( { 2m(2ke – 1 ) – 2m ( 2e-m – 1 )} ( p ( ( 2m.uke - 2m .u(e-m) ) ( p
Theo chú ý ở phần bổ đề 1, vì ue ( p nên uke ( p ( 2m uke ( p
( 2mu(e-m) ( p và Ư CLN ( 2m ; p ) = 1 ( u(e-m) ( p
Mà 0 < e-m < e ; nên tồn tại một số tự nhiên (e-m) < e sao cho u(e-m) chia hết cho p .Điều nầy trái với giả thiết rằng e là số tự nhiên nhỏ nhất có tính chất ue ( p . Vậy bổ đề 2 đã được chứng minh .
❸ Bổ đề 3 :<< Với mỗi số nguyên