Đề toán tuổi thơ 3

ĐẠI SỐ Bài 1 : Tìm tất cả các số chính phương dạng abcba Bài 2 : Giải phương trình : x^2 + 2x + 3 = (x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 4) Bài 3 : Tìm các số nguyên x,y,z,t thỏa mãn : /x - y/ + /y - z/ + /z - t/ + /t - x/ = 2003 Bài 4 : Cho 6 số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thỏa mãn :
2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 a) Nếu tính tổng hai số tự nhiên bất kỳ thì được bao nhiêu tổng ? b) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau. Chứng minh a6 lớn hơn hoặc bằng 2012 Bài 5 : Biết rằng : /a + b + c/ nhỏ hơn hoặc bằng 1 ; / a/4 + b/2 + c / nhỏ hơn 1.  Chứng minh : /a/ + /b/ + /c/ nhỏ hơn hoặc bằng 17 Bài 6 : So sánh A và B biết :  A = ( 2003^2002 + 2002^2002 )^2003  B = ( 2003^2003 + 2002^2003 )^2002 Bài 7 : Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn : p = a^2 + b^2 là số nguyên tố, p - 5 chia hết cho 8. Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn ax^2 - by^2 chia hết cho p. CMR cả hai số x,y chia hết cho p. Bài 8 : Trong một giải bóng đá nhi đồng theo thể thức thi đấu vòng tròn một lượt. Thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Đội Măng Non chỉ hòa 1 trận, thua 1 trận và được tất cả 16 điểm. CMR vào bất kỳ lúc nào cũng tìm được ít nhất 2 đội đã đấu cùng số trận. Bài 9 : Cho các số không âm x1, x2, x3, ..........., xn có tổng bằng 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểủ thức A = x1*x2 + x2*x3 + ........ + x n-1*xn Bài 10 : Tìm các cặp số hữu tỉ (x,y) thỏa mãn x + y và 1/x + 1/y đồng thời là hai số nguyên dương. Bài 11 : Cho số tự nhiên N = 2003^2004. Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1, n2,...., nk. S = (n1)^3 + (n2)^3 +.........+ (nk)^3.
Tìm số dư của phép chia S cho 6. Bài 12 : Tồn tại hay không số nguyên n thỏa mãn n^3 + 2003^n = 2005^2005 + 1 Bài 13 : Tìm m để phương trình sau có ít nhất 4 nghiệm nguyên: m^2 . / x + m / + m^3 + / m^2x + 1 / = 1 Bài 14 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR phương trình
x^2 + y^2 + z^2 = 4p^2 + 1 luôn có nghiệm nguyên dương (x;y;z) Bài 15 : Cho a,b,c không âm và a + b + c = 1.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng: S = ab + 2bc + 3ca Bài 16 : Cho x^2 + y^2 = 1. Tìm min, Max của biểu thức : S = (2 - x)(2 - y) Bài 17 : Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, a4, ........a20 có các tính chất sau: i) a1 là số dương ii) Tổng của 3 số viết liền nhau bất kỳ là một số dương. iii) Tổng của 20 số đó là số âm CMR : a1*a14 + a14*a12 < a1*a12  Bài 18 : Tìm nghiệm dương của phương trình : (x^3 + y^3) + 4(x^2 + y^2) + 4(x+y) = 16xy