Đề thi và đáp án HSG toán 8 Tiền Hải 2014-2015

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015
TIỀN HẢI mÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài 120 phút)


Bài 1 ( 5 điểm):
a) Tìm x, y biết: 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y)
b) Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
Tính giá trị của biểu thức

c) Cho a > b > 0. Trong hai số sau số nào lớn hơn

và

Bài 2 ( 4 điểm):
Cho phương trình:
(1)
Giải phương trình khi a = 2; b = - 3
Giải và biện luận phương trình (1)
Bài 3 ( 3,5 điểm):
Cho A = a2 + b2 + c2 , trong đó a;b là hai số tự nhiên liên tiếp và c = a.b. Chứng minh A là một số chính phương lẻ.
Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh nếu 2n = 10a + b ( 0 < b < 10) thì tích a.b chia hết cho 6.
Bài 4 ( 6 điểm):
Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AA’, Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A’ lên AC và AB. Chứng minh rằng:
a)
từ đó suy ra AC2 = CA’.CB
b)

c) D là một điểm nằm trên cạnh huyền BC; M,N là hình chiếu của D lên AB và AC. Chứng minh DB.DC = MA.MB + NA.NC
Bài 5 ( 1.5 điểm):
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và O là điểm nằm trong tứ giác sao cho OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S. Chứng minh rằng ABCD là một hình vuông có tâm O.


Họ và tên thí sinh: ........................................................................................................
Số báo danh: .......................................................................................................................PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KI THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012
TIỀN HẢI DẪN CHẤM THI 8


Bài 1
( 5 điểm)

a
0,5 đ



0,







0,75đ











0,5đ







0,5đ



0,25đ


b)
0,5đ




0,5đ






( t/m điều kiện)



Vậy thì A=2.


Bài 2
(4 điểm)

a)

2đ




0,5đ




0,5đ




0,5đ




0,25đ


Vậy Tập nghiệm của pt:

0,25đ


b)Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn:
. Cứng minh rằng:
là số chính phương.
2đ


Ta có:

0,5đ








0,5đ




0,5đ


Vì a, b, c là các số nguyên


là số chính phương
0,5đ



















Bài 3
( 5 )
-Vẽ hình sai không chấm




a) C/m:
đồng dạng với

2 đ




0,5đ


Do
(2)
Lại có:
(3)
0,5đ


Từ (1) (2) (3)
(4)
0,25đ


- Chứng minh tương tự:
(5)
0,5đ


- Từ (4) và (5). Suy ra
đồng dạng với
(g.g)
0,25đ


b) C/m 3 điểm H, E, I thẳng hàng
2 đ


* FA=FC(gt); OA=OI (gt).

OF là đg trung bình của tam giác ACI
(a)
0,5đ


*
(b)
0,25đ


*
đồng dạng với

(b)
0,5đ


- Từ (a) (b) (c).

0,25đ


- Vậy E là trung điểm của đường chéo BC nên E cũng là trung điểm của HI. Vậy H, E, I thẳng hàng
0,5đ



c) C/m:

1