De thi va Dap an HSG mon Toan 5

Họ và tên: Phan Duy Nghĩa
Phó Hiệu Trưởng Trường Tiểu học Sơn Long,
Hương Sơn, Hà Tĩnh.






Một phương pháp giải toán

Khi giải toán ở tiểu học hay ở các cấp học khác, ta bắt gặp không ít các bài toán có những đặc điểm, tính chất không thay đổi khi thay đổi các đại lượng nào đó, mà ta gọi là tính bất biến. Đôi khi có thể tìm ra lời giải cho một bài toán nhờ khai thác được tính bất biến này. Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau:

Bài toán 1 : Toán có 3 tờ giấy màu. Toán lấy mỗi tờ cắt thành 4 mảnh nhỏ hoặc 10 mảnh nhỏ rồi lại lấy mỗi mảnh nhỏ cắt tiếp thành 4 mảnh nhỏ hoặc 10 mảnh nhỏ hơn và cứ tiếp tục như thế. Cuối cùng Toán đếm lại thì thấy có tất cả 2008 mảnh giấy to nhỏ khác nhau. Hỏi Toán đếm đúng hay sai ?
ân tích : Sau mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 4 mảnh hoặc 10 mảnh thì số mảnh giấy tăng lên là 3 hoặc 9. Như vậy tính bất biến của bài toán là "số mảnh giấy tăng thêm luôn là một số chia hết cho 3".
Bài giải : Mỗi lần cắt tờ giấy hay mảnh giấy thì số mảnh tăng lên là 3 hoặc 9. Do đó dù cắt bao nhiêu lần thì số mảnh tăng thêm luôn là một số chia hết cho 3. Mà ban đầu Toán có 3 mảnh cũng là số chia hết cho 3 nên tổng số mảnh thu được sau một số lần cắt phải là một số chia hết cho 3. Số 2008 là số không chia hết cho 3. Vậy Toán đã đếm sai.

Bài toán 2 : Cho 10 chữ số được xếp theo thứ tự như sau: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.
Hãy đặt các dấu (+) vào các vị trí thích hợp giữa các chữ số sao cho được tổng có giá trị bằng 108.
Phân tích : Tính bất biến của bài toán là: nếu bỏ đi một dấu cộng nào đó thì tổng tăng thêm số đơn vị bằng 9 lần số đứng liền trước dấu cộng vừa bỏ.
Chẳng hạn: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 10 = 45 + 9 x 1.
Bài giải : Nếu đặt đủ 9 dấu (+) vào giữa 10 chữ số đã cho thì được tổng là:
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 45. Vì 45 < 108 nên trong tổng phải có ít nhất 1 số có 2 chữ số, do đó phải bỏ đi một số dấu cộng. Ta nhận thấy nếu bỏ đi một dấu (+) nào đó thì tổng tăng thêm số đơn vị bằng 9 lần số đứng liền trước dấu (+) vừa bỏ. Mà: 108 - 45 = 63 = 9x7 = 9x(6+1) = 9x(5+2) nên ta có 3 cách điền như sau:
Cách 1. Bỏ dấu (+) trước chữ số 6 ta có: 9 + 8 + 76 +5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 108.
Cách 2. Bỏ dấu (+) trước chữ số 5 và trước chữ số 0 ta có:
9 + 8 + 7 + 65 + 4