Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán 8 cấp huyện

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIAO THỦY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN - Lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)



Bài 1 (5,0 điểm)
Cho biểu thức:

a. Rút gọn A.
b. Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (3,0 điểm)
a. Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn.
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =
với x là số nguyên.
Bài 3 (3,0 điểm)
Giải phương trình:
.
Bài 4 (3,0 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
a. 5x2 + y2 = 17 + 2xy.
b.
.
Bài 5 (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB ( MD. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H.
a. Chứng minh: KF // EH.
b. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy.
c. Chứng minh: SMKAE = SMHCF .

………….. Hết …………



Họ và tên thí sinh: …………………………………
Số báo danh: ………………………………………..
Họ, tên chữ ký GT1: …………………………………
Họ, tên chữ ký GT2: …………………………………



PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO GIAO THỦY

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN - Lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)


Bài 1
(5,0điểm)
Hướng dẫn giải
Điểm


a)
(3,0điểm)
Rút gọn A



- Phân tích được 4x3 - 8x2 + 3x - 6 = (x - 2)(4x2 + 3)
1,0


- Phân tích được 2x2 - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1)
1,0


- Rút gọn được kết quả

1,0


b)
(2,0điểm)
Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên



- Tìm ĐKXĐ:


0,25




1,0


-Lập luận để A có giá trị nguyên (x(Z và 2x + 1 là ước lẻ của 4
0,5


- Tìm được x = 0; -1
0,25

Bài 2
(3,0điểm)



a)
(1,5 điểm)
Vì n chẵn nên n = 2k (k ( Z)
Do đó n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k
= 8k3 + 4024k
0,5


 = 8k3 - 8k + 4032k
0,5


 = 8k(k2 - 1) + 4032k
= 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k
0,25


và lập luận suy ra điều phải chứng minh
0,25

b)
(1,5 điểm)
Nhận xét : B =
với
mà
> 0 với mọi
nên:
Nếu x + 1 < 0
x < -1 thì B < 0
Nếu x + 1 = 0
x = -1 thì B = 0
Nếu x + 1 > 0
x > -1 thì B > 0
Suy ra B đạt giá trị lớn nhất nếu x > -1


0,5


Do x là số nguyên,
, x > -1
Nên ta xét các trường hợp sau
x = 0 thì B =
(1)
x = 1 thì B = 2 (2)
x > 2 thì B =

0,5


 Với x > 2 ta có B =
=

B lớn nhất khi
lớn nhất
mà 3 > 0 và x > 2
x - 2 > 0
nên:
lớn nhất khi x - 2 nhỏ nhất và x - 2 nguyên
x - 2 = 1

x = 3
B = 4 (3)
0,25


Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn nhất bằng 4 khi x = 3
0,25

Bài 3
(3,0 điểm)




ĐKXĐ: x ( 0
0,25


Đặt
(y (0)
Khi đó ta có phương trình

(2)