Đề thi TStoán Phanbộichâu(09-10)

Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An Năm học: 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (3.5 điểm)
a) Giải phương trình


b) Giải hệ phương trình


Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

.
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.
b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức






















Đáp án

Nội dung đáp án
Điểm

Bài 1

3,5 đ

a

2,0đ









0.50đ




0.25đ




0.25đ




0.25đ




0.25đ



( thỏa mãn )
0.50đ

b

1,50đ


Đặt

0.25đ


 Hệ đã cho trở thành

0.25đ




0,25đ




0,25đ



(vì
).
0,25đ


Từ đó ta có phương trình:

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:

0,25đ

Bài 2:

1,0 đ


Điều kiện để phương trình có nghiệm:
(*).
0,25đ


Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2).
Theo định lý Viet:

0,25đ





hoặc
(do x1 - 1 ≥ x2 -1)

hoặc

Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )



0,25đ


Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ

Bài 3:

2,0 đ


Vì BE là phân giác góc
nên

0,25đ



(1)
0,50đ


 Vì M, N thuộc đường tròn đường kính AB nên

0,25đ




, kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK
0,50đ




0,25đ


 ( AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ

Bài 4:

1,5 đ


 Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên

Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên


.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ


 Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI
đồng d