Đề thi thách đấu toán học

Thách đấu
Bài 1: Cho các số thực không âm x, y, z, w thoả mãn

Tìm x, y, z, w trong trường hợp x đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm A cắt đường thẳng BC tại D. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường trung trực của AB tại E, và đường vuông góc với BC tại C cắt đường trung trực của AC tại F. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho dãy số được xác định như sau:

Chứng minh rằng 1 là số chính phương duy nhất của dãy số
Bài 4: Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
Khi nào thì đẳng thức xảy ra?
----------------------------------------
Cơ hội nhân đôi giải thưởng.
Sau khi hoàn thành xong bài làm phần thách đấu, bạn sẽ có cơ hội nhân đôi phần thưởng của mình nếu bạn giải được bài toán sau đây:
A cat is located at C, 60 metres directly west of a mouse located at M. The mouse is trying to escape by running at 7 m/s in a direction 30_ east of north. The cat, an expert in geometry, runs at 13 m/s in a suitable straight line path that will intercept the mouse as quickly as possible.
If t is the length of time, in seconds, that it takes the cat to catch the mouse, determine the value of t.




Trường THCS & THPT Hai Bà Trưng
Tổ KHTN

Đáp án
Thách đấu số 1 – tháng 10 năm 2009

Bài 1:
Ta có:

Do nên x đạt GTNN bằng khi
Khi đó,
Vậy
Bài 2:


Gọi M là trung điểm của AB.
Ta có: (góc có cạnh tương ứng vuông góc).

Tương tự,
(1)


Mặt khác, (cùng chắn cung AB)


Mà
(2)
Từ (1) và (2) suy ra Vì vậy, và đồng dạng.
Hay 3 điểm D, E, F thẳng hàng. (

Bài 3:
Từ cách cho dãy số suy ra là số nguyên dương


Suy ra
Hay
nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp. Vì thế không là số chính phương.
Vậy 1 là số chính phương duy nhất của dãy số đã cho.
Bài 4:
Theo bất đẳng thức AM-GM , ta có:

(1)
“=” xảy ra
Mà
(2)
“=” xảy ra
Từ (1) và (2) suy ra

“=” xảy ra
Cơ hôi nhân đôi
Solution





Trong t giây, con chuột chạy được 7t m, và con mèo chạy được 13t m.
Gọi P là điểm mà con mèo bắt được con chuột. Trong áp dụng định lý cosin ta có:




Vì t là một khoảng thời gian, nên t>0. Vì thế t = 7,5 s.

In t seconds, the mouse runs 7t m, and the cat runs 13t m.
Using this, we get a triangle with the cat and mouse meeting at P.
By the cosin law,



Thus, and
Since t represents a time, then t>0, so s.