ĐỀ THI HSG VÀ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
((((
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017
(((((((((((((((((((((((
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu 1. (3,0 điểm) Cho

Tính

Câu 2. (3,0 điểm) Cho hai hàm số:
và
có đồ thị lần lượt là
. Gọi
là giao điểm của
và
.
Tìm tọa độ điểm
.
Tìm
nguyên để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
Câu 3. (4,0 điểm)
Giải phương trình:

Giải hệ phương trình sau:

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác
cân tại
. Gọi
là trung điểm MN,
là hình chiếu vuông góc của H trên PM. Dựng đường thẳng qua P vuông góc với NK và cắt HK tại
. Chứng minh rằng
là trung điểm của HK .
Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác
vuông cân tại
. Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

là hình chiếu vuông góc của
trên
,
cắt
tại
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
.
a) Chứng minh rằng tứ giác
là hình vuông.
b) Chứng minh rằng
đồng qui.
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm số nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình
với n là số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số chính phương.
Câu 7. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc +ca = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



--------- HẾT ---------
Họ tên thí sinh…………………………………………………………..…..Số báo danh……………...........
(Giám thị không giải thích gì thêm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017


HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
(Gồm 06 trang)
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM

Câu 1.
(3,0 điểm)
Cho
. Tính








0,5




0,5




Vậy
.
0,5


Ta có



.
0,5





0,5





0,5

Câu 2.
(3,0 điểm)
Cho hai hàm số:
và
có đồ thị lần lượt là
. Gọi
là giao điểm của
và
.
Tìm tọa độ điểm
.
Tìm
nguyên để biểu thức
nhận giá trị nguyên.


a)
(1,5 điểm)
Tọa độ điểm A là nghiệm hệ:

0,5




0,5



. Vậy A(m; - m + 1)
0,5

b)
(1,5 điểm)


0,5




0,25




0,25


Suy ra:
nên

+)
tìm được m = -1.
+) T = 2 không tìm được m nguyên thỏa mãn.
+) T =3 tìm được m =0.
0,5

Câu 3.
(4,0 điểm)
Giải phương trình:

Giải hệ phương trình sau:



1)
(2,0 điểm)
Do
nên
0,25




0,5




0,25





(1)






0,5


Giải (1): Đặt t =
PT (1) trở thành:
(2)
+) Với
thì
suy ra phương trình (2) vô nghiệm.



0,25


+) Với

suy ra phương trình (2) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.





0,25

2)
(2,0 điểm)
Giải hệ:






0,5

0,5


+) Với xy = 1 thay vào (2) ta được:





0,5


+) Với
thay vào (2) ta được:

Vậy hệ có ba nghiệm là:







0,5

Câu 4.
(2,0 điểm)
Cho tam giác
cân tại
. Gọi
là trung điểm MN,