Đề thi HSG Toán huyện có đấp án chi tiết

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 – 2012
----------------- Khóa ngày 06/11/2011

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (4 điểm)
a/ Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

Bài 2: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x3 + y3 + z3 – 3xyz
b/ x4 + 2011x2 + 2010x + 2011

Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3
b/ Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4

Bài 4: (4 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?

Bài 5: (4 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành.
------
















HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012)
----------------------
Bài 1: (4 điểm)
a/
Ta phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3
9 với n
Z
A = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8
= 3n3 + 9n2 + 15n + 9 (0,5đ)
= 3n3 – 3n + 9n2 + 18n + 9 (0,5đ)
= 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + 9 (0,5đ)
Nhận thấy n(n – 1)(n + 1)
3 nên 3n(n – 1)(n + 1)
9 Và 9n2 + 18n + 9
9
Vậy A
9 (0,5đ)

b/ 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = (0,5đ)
= 5n(59 – 8) + 8.64n (0,5đ)
= 59.5n + 8(64n – 5n) (0,5đ)
59.5n 59 và 8(64n – 5n) 64 – 5) = 59
vậy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59 (0,5đ)

Bài 2: (4 điểm)
a/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz =
= (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) (0,5đ)
= (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] (0,5đ)
= (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] (0,5đ)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) (0,5đ)

b/ x4 + 2011x2 + 2010x + 2011 =
= x4 + x3 + x2 + 2010x2 + 2010x + 2010 – x3 + 1 (0,5đ)
= x2(x2 + x + 1) + 2010(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) (0,5đ)
= (x2 + x + 1)(x4 + 2010 – x + 1) (0,5đ)
= (x2 + x + 1)(x4– x + 2011) (0,5đ)

Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá