De thi hsg toan cap tinh

.
Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút )


Bài 1: (4 điểm)
Cho phương trình x4 + 2mx2 + 4 =0
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32
Bài 2: (4 điểm)
Giải hệ phương trình


Bài 3: (3,5 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 4: (6 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R (R là một độ dài cho trước). M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng cáckhoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng

1) Tính độ dài đoạn MN theo R.
2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R.
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích (KAB theo R khi M, N thay đổi những vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.
Bài 5: (2,5 điểm)
Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2 ( 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2.







Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán. Bảng A

Câu
Nội dung
Điểm

Bài 1

4


Phương trình x4 + 2mx2 + 4 =0 (1).
Đặt t = x2
Phương trình (1) trở thành: t2+ 2mt +4 =0 (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1, t2


Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm là x1,2 =

Và x14 + x24 + x34 + x44 = 2 (t12 + t22)
= 2[(t1 + t2)2 - 2 t1.t2]
= 2[(-2m)2 -2.4]
= 8m2 - 16
Từ giả thiết ta có 8m2 - 16 = 32
(loại).
Vậy giá trị cần tìm của m là:



0,5



1,5






1,5

0,5

Bài 2

4


Hệ phương trình:


Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 1);









1



1





1,5




0,5

Bài 3

3,5


*Với (x(( 2 và (y(( 2 ta có:

( x2y2 ( 2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2( x2 + y2 + 2(xy(> x2 + y2 + xy
* Vậy (x(( 2 hoặc (y( ( 2
- Với x =2 thay vào phương trình ta được 4 + 2y + y2 = 4y2
hay 3y2-2y -4 =0 ( Phương trình không có nghiệm nguyên
- Với x =-2 thay vào phương trình ta được 4 - 2y + y2 = 4y2
hay 3y2+2y -4 =0 ( Phương trình không có nghiệm nguyên
- Với x =1 thay vào phương trình ta được 1 + y + y2 = y2
hay y = -1
-