Đề thi HSG Toán 9 - năm 2014- Long Biên , Hà Nội

PHÒNG GD&ĐT
QUẬN LONG BIÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC


KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 3
Môn : TOÁN
Năm học 2014-2015
Ngày thi: 05/02/2015
Thời gian làm bài: 150 phút



Bài 1.(3 điểm) Cho biểu thức :

Rút gọn A. b) Biết rằng
, Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 2.(6 điểm)
1. Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a)
b)

2. Tìm các số nguyên x y, z thoả mãn:
.
Bài 3.(3 điểm)
Cho a,b,c là 3 số thực dương có tổng a + b + c =2015. Chứng minh rằng :


Mỗi ô vuông đơn vị của một bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 bất kì . Hai số nào được ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số trùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
Bài 4: (3,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a sao cho
có giá trị là số chính phương
Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p+1 và 4p+1 cũng là số nguyên tố.
Bài 5: (5điểm ) Cho đường tròn (O; R) và một dây cung BC cố định. A là điểm di động trên cung lớn BC. Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Từ D vẽ DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC (E ( AB; F( AC )
Chứng minh tứ giác AEDF và tứ giác BEFC nội tiếp.
Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh AI luôn đi qua một điểm cố định.
Từ I vẽ IK; IH lần lượt vuông góc với AB, AC chứng minh KH//BC
Từ B và C vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AI lần lượt tại M và N. Chứng minh 3 đường thẳng AD; EF, KH đồng quy và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM là một điểm cố định.
----------Hết---------

Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.


HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN VÒNG 3 NĂM HỌC 2014-2015

2 Bài
Câ
Câu
Nội dung
Điểm

1
a



Điều kiện xác định : x > 0; y>0; xy ( 1.
Rút gọn được


1.5đ


b)

Áp dụng BĐT Cô Si cho hai số dương , ta có


Suy được A ≤ 9 dấu “=” xảy ra khi x = y =1/9



1.5đ

2
2
1

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a)
b)

a) Lập luận được tập nghiệm S={2}
b) Suy luận được tập nghiệm (x,y) = (3;4)





2.0đ
2.0đ






2

Tìm các số nguyên x y, z thoả mãn:
.
Biến đổi được (2x-y)2+3(y-2)2+4(z-1)2<4
Suy ra 4(z-1)2 <4 <=> (z-1)2 ≤ 1
z=1 do đó (2x-y)2+3(y-2)2 <4
suy được 3(y-2)2 < 4

Kiểm tra các điều kiện tương ứng với 3 giá trị của y kết luận được y=2 thì x=1 thỏa mãn đk







2.0đ

2Bài Bài
Câu
Nội dung
Điểm

3
a
Cho a,b,c là 3 số thực dương có tổng a + b + c =2015. Chứng minh rằng :



ta có

Suy được

Biến đổi được
(1)
Tương tự suy luận được
(2)

Cộng các vế (1) ; (2) ; (3) ta được :

vì a+b+c=2015







0.5đ






0.5đ










0.5đ



b
Trên hình vuông con kích thước 2x2 có không quá 1 số chia hết cho 2, có không quá một số chia hết cho 3.
- Lát kín bảng bởi 25 hình vuông , kích thước 2x2 có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2,