Đề thi HSG Toán 9 - 2014- Long Biên, Hà Nội

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN VÒNG 2
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: Toán
Ngày thi: 27 / 11 /2014
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)


Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
.
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =

Câu 2: (4,0 điểm)
a)Chứng minh rằng : 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n
24 với mọi n là số tự nhiên.
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức x4 - x2 + 2x + 2 là số chính phương..
c) Chứng minh rằng :

Câu 3. (4,0 điểm)
Cho hàm số
( x là ẩn , m là tham số ; m ( 3).
Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (-2;2).
Biết rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định đó.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.
Câu 4: (6 điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính BC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Biết BC=20cm;

a) Tính độ dài AB; AC.
b) Đường tròn đường kính AH cắt (O) , AB, AC lần lượt tại M; D; E. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh 3 điểm A, M; K thẳng hàng.
c) Chứng minh 4 điểm B; D; E; C cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5: (2 điểm ) Trong mặt phẳng cho 2015 điểm phân biệt sao cho trong 3 điểm bất kì trong 2015 điểm đã cho luôn tồn tại 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1008 điểm trong 2015 điểm đã cho (hình tròn ở đây kể cả biên)
––––––––––Hết––––––––––
Chú ý: : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Phần Hình học không sử dụng các kiến thức chương III- Toán 9.


HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 VÒNG 2
Năm học 2014-2015


TT

Nội dung
Điểm

Câu 1


4đ


a
ĐKXĐ:
(*)
0,5



Rút gọn được :

2,0


b
Biến đổi được x = 2.
Thay vào biểu thức tính được

1,5

Câu 2


4đ


a
Biến đối được A=n(n-1)(n-2)(3n-5)
Khai triển thành : A=3n(n-1)(n-2)(n-3)+4n(n-1)(n-2)
Do n-2; n-1; n là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3.
Lập luận để khẳng định được A chia hết cho 6.
Suy luận được 4n(n-1)(n-2) chia hết cho 24.
Do n(n-1)(n-2)(n-3) là tích 4 số nguyên liên tiếp vì vậy có 2 số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 , số còn lại chia hết cho 4 . Vậy tích chia hết cho 8.
Suy luận được 3n(n-1)(n-2)(n-3) chia hết cho 24.
Vậy A chia hết cho 24.
1,5


b
Biến đổi đẳng thức x4 - x2 + 2x + 2
= (x+1)2 [(x-1)2+1] (*)
0,5



Nếu (x+1) 2 =0 và [(x-1)2+1] tùy ý lập luận suy được x= - 1
Nếu [(x-1)2+1] ≠ 0 thì [(x-1)2+1] là số chính phương
Đặt [(x-1)2+1] =y2 ( y ( N) lập luận để suy được x=1
1.0



Sử dụng phép biến đổi liên hợp chứng minh được


Thay số áp dụng với k=2 ; k=3…k=100
Lập luận để suy được

1,0

Câu 3


4đ


a

Hàm số
(với m khác 3).
Tìm được m