Đề thi HSG Toán 9

UBND HUYỆN VĂN CHẤN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN,
LỚP 9 THCS (VÒNG 1). NĂM HỌC: 2014- 1015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu 1: (4,0 điểm)
a) Không dùng máy tính, hãy so sánh:

;

b) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

Câu 2: (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với năm số a, b, c, d, e bất kỳ, bao giờ ta cũng có: a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a( b + c + d + e)
b) Cho a + b + c = 0. Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc.

Câu 3: (3,0 điểm)
Giải phương trình:

Câu 4: (5,0 điểm)
Cho
cân tại C. Kẻ đường phân giác AD của góc A và đường trung tuyến CM của tam giác. Tính góc ACB, biết rằng AD = 2CM.

Câu 5: (4,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có
=
> 900. Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF, ABE.
a) Tính góc EAF.
b) Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

HẾT





PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĂN CHẤN

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I - CẤP HUYỆN
MÔN TOÁN - LỚP 9
Năm học: 2014 - 2015

Câu
Đáp án
Điểm

1
a
Cách 1: Ta có
=>

Cách 2: Ta có
=>

Ta có 329 = 245 < 252 < 1613 < 1813
Vậy



2,0


b
ĐK: x ≠ 0; x ≠ 2, Ta có:
A =

= x(x -2) + 3 = x2 - 2x + 1 + 2 = (x - 1)2 + 2
Ta có (x - 1)2 + 2 ≥ 2 với mọi giá trị của x
Vậy Min A = 2 khi x = 1
2,0

2
a
a) Dùng phép biến đổi tương đương ta có:
a2 + b2 + c2 + d2 + e2
a( b + c + d + e) (1)
<=> a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae
0
<=>

<=>
(2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng vậy bất đẳng thức (1) luôn đúng.
2,0


b
Ta có a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) và a + b = -c
do đó a3 + b3 + c3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3
= -c3 - 3ab(-c) + c3 = 3abc
2,0

3

ĐK: x > 2; y > -1995; z > 1996
Đặt

ta có: x + y + z = a2 + b2 + c2 + 3 (1)
Từ pt đã cho và (1)
=> a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c)
<=> (a -1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 = 0
<=> a - 1 = 0; b - 1 = 0; c - 1 = 0 => a = 1; b = 1; c = 1
=> x = 1; y = -1994; z = 1997
3,0

4




cân tại C có CM là đường trung tuyến => CM
AB
=>

Kẻ ME // AD (E
BC)
Ta có ME =
AD (ME là đường TB của
ADB)
Mà AD = 2 CM (gt)
=> CM = ME
=>
CME cân tại M
=>

Có
(
vuông tại M)

(
vuông tại M)
Mà
(t/c góc ngoài của tam giác)


5,0

5





b) Ta có
(hai góc trong cùng phía)


Từ (1) và (2) =>

có FD = FA; DC = AE(gt)
=> ∆CDF = ∆EAF (c.g.c) => CF = EF (*)
Chứng minh tương tự ∆EBC = ∆EAF (c.g.