Đề thi hsg toán 8 Yên Lạc

PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN :TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút không kể giao đề


Bài 1: ( 3 điểm)
Cho biểu thức

a, Rút gọn biểu thức P.
b, Với
thì P không nhận những giá trị nào?
c, Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên tố.

Bài 2: ( 2,5 điểm)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử

b, Tính giá trị của biểu thức
( Với n là số tự nhiên ), biết rằng


Bài 3: ( 1 điểm)
Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên lớn hơn 1 không vượt quá 2004 và đôi một nguyên tố cùng nhau tìm được một số là số nguyên tố.

Bài 4: (2,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O vẽ một đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng :
a, OM=ON
b,


Bài 5: (1 điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và a+b+c=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

………………………Hết…………………………..





PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC

ĐÁP ÁN THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN :TOÁN



Bài
Nội dung
Điểm

1
(3 đ)
a, ĐKXĐ x

0,25




1,0


b,

0,5




0,25


Vậy P không lấy các giá trị từ 1 đến -1, tức là

0,25


c.

0,25


P là số nguyên khi


0,25


Mà P là sốnguyên tố nên chỉ có các giá trị sau thoả mãn
x

0,25

Bài 2
2,5 đ
a,

0,5


=

0,25


=

0,25


b, Vì
nên

0,25


Nếu

0,5


Nếu n=3k+1 Và

0,25


Nếu n=3k+2, k là số tự nhiên thì


0,25


Vậy A=2( với n chia hết cho 3) hoặc A=-1 ( Vói n không chia hết cho 3)

0,25

Bài 3
1 đ
Giả sử n1,n2,…,n15 là các số thoả mãn ĐKĐB



G/sử tất cả chúng là hợp số .Gọi pi là ước nguyên tố nhỏ nhất của ni ( i=1;2;3..;15). Gọi p là số lớn nhất trong các số p1,p2,…,p15 . Do các số n1,n2,…,n15 đôi một nguyên tố cùng nhau nên các số p1,p2,…,p15 khác nhau tất cả.
0.25


Số nguyên tố thứ 15 là số 47, ta có
.



Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì

0,25


Suy ra
, vô lý
0,25


Vậy trong 15 số n1,n2,…,n15 tìm được một số nguyên tố.
0,25





Bài 4(2,5)


A B

M O N

D C






a,

0,5


Suy ra

0,5


b, OM//AB

0,5




0,5


Chia cả hai vế cho OM ta đựoc

0,5

Bài 5
Ta có 3-2a=a+b+c-2a=b+c-a>0 và 3-2b>0,3-2c>0
0,25


Áp dụng BĐT Cauchy, ta có


0,25



( cộng hai vế với
)
0,25




Dấu bằng xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều.
0,25