Đề thi HSG toán 8 - TPLS (2011-2012)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012



Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 17/4/2010
(Đề thi gồm 1 trang, có 5 câu)



Câu 1. (2,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30;
Giải phương trình x2 + y2 + z2 = y(x + z).

Câu 2. (2,5 điểm)
Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a)
Cho tam giác có nửa chu vi
với a, b, c là độ dài ba cạnh.
Chứng minh
.
Câu 3. (1,5 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Câu 4. (2 điểm)
Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
(AIM và (ABI đồng dạng.


Câu 5. (1,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho
, F là trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính diện tích (AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2.

--------- Hết ---------

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012



Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 17/4/2010

Câu 1. (2,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30;
Giải phương trình x2 + y2 + z2 = xy + yz
a) x5y – xy5 = xy(x4 – y4) = xy(x4 – 1 – y4 + 1)
= xy(x4 – 1) – xy(y4 – 1)
Ta có x(x4 – 1) = x(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) chia hết cho 2, 3 và 5
=> xy(x4 – 1)
30 tương tự xy(y4 – 1)
30
=> x5y – xy5
30

0,5 đ

0,5 đ
0,25 đ

b) x2 + y2 + z2 = xy + yz <=> 2x2 + 2y2 +2z2 – 2xy – 2yz = 0
<=> (x – y)2 + (y – z)2 + x2 + z2 = 0
<=> x – y = y – z = x = z = 0
<=> x = y = z = 0
0,5 đ
0,5 đ

0,25 đ

Câu 2. (2 điểm)
Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
A = a(a2 + 2b) + b(b2 – b)
Cho tam giác có nửa chu vi
với a, b, c là độ dài ba cạnh.
Chứng minh
.
a) a + b = 1 => a =
+ x, b =
+ y với x + y = 0
ta có: A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) = a3 + b3 + ab = a2 + b2
=

=> GTNN(A) =
<=> x = y = 0 <=> a = b =



0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ

Ta có:

Tương tự
;

Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều


<=>


0,5 đ

0,25 đ




0,5 đ


Câu 3. (1,5 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần