Đề thi HSG toán 8 thành phố Thái Bình

Bài 1 (5,0 điểm)
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144
2. Cho đa thức F(x) = x3 + ax2 + bx + c (với a, b, c R).
Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 thì dư 5, chia cho đa thức x + 1 thì dư -4.
Hãy tính giá trị (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) ?
Bài 2 (4,0 điểm)
1. Giải phương trình :
2. Giải phương trình nghiệm nguyên :
Bài 3 (3,0 điểm)
1. Cho ba số thực a, b, c có tích bằng Hãy rút gọn biểu thức :

2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y 10.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
Bài 4 (5,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM, AP vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD).
1. Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC . NP
2. Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD.
3. Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC. Chứng minh tổng không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.
Bài 5 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh 8










Bài 1 (5,0 điểm)
1. A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144
= [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144

0.25

 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144
0.25

 = (x2 + x - 7 + 5)(x2 + x - 7 - 5) - 144
0.5

 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144
0.25

 = (x2 + x - 7)2 - 169
0.25

 = (x2 + x - 7 - 13)(x2 + x - 7 + 13)
0.25

 = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6)
0.25

 = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6)
0.25

 = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6)
0.25

2. Gọi thương của phép chia F(x) cho x - 2 và x + 1 lần lượt là P(x) và Q(x)
Suy ra : x3 + ax2 + bx + c = (x - 2). P(x) + 5 (1)
x3 + ax2 + bx + c = (x + 1). Q(x) - 4 (2)

0.5

 Thay x = 2 vào (1) ta có : 8 + 4a + 2b + c = 5 ( 4a + 2b + c = -3 (3)
0.5

 Thay x = -1 vào (2) ta có : -1 + a - b + c = -4 ( a - b + c = -3 (4)
0.5

 Từ (3) và (4) => 4a + 2b + c = a - b + c => 3a = -3b => a = -b
0.5

 => a3 = -b3 => a3 + b3 = 0 => (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) = 0
0.5


Bài 2 (4,0 điểm)
1.




0.5



0.25



0.25



0.25

 ( vì

0.25


0.25

 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
0.25

2. ĐKXĐ : x0 , y0

0