ĐỀ THI HSG TOÁN 8 (Hay-Tải về ngay)

TRƯỜNG THCS TƯỜNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2017 - 2018



MÔN THI: TOÁN 8

(Đề gồm 01 trang)
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)


Câu 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức

a/ Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2 (6,0 điểm)
Giải phương trình sau:




c) x3 - 3x2 + 4 = 0
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 240. Hãy tính x2 + y2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

c) Chứng minh rằng
với mọi số nguyên a
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho
ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H. Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh:
a) Tứ giác ABDM là hình thoi.
b) AM
CD .
c) Gọi I là trung điểm của MC; chứng minh IN
HN.
- HẾT -
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh: .................




ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu

Nội dung
Điểm

1
(4 đ)
a
ĐKX Đ:






b
A =

Để A có giá trị nguyên thì 4 chia hết cho 3x-2


3x-2
-4
-2
-1
1
2
4

x

(loại)
0

(loại)
1

(loại)
2





2
(6 đ)
a





b



x – 2018 = 0 (vì
)

x = 2018



c




3
(4 đ)
a
Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 240. Hãy tính x2 + y2


Do đó: x2 + y2 = (x+ y)2 – 2xy = 202 – 2.11= 378



b


P = 2017
x = 2; y = 1.
Vậy Pmin = 2017 khi x = 2; y = 1.



c
Chứng minh rằng
với mọi số nguyên a
Ta có:

Vì (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6. Suy ra
(1)
Mặt khác:


Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và (a-1)a(a+1).5 chia hết cho 5 nên
. Suy ra
(2)
Vì (5; 6) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra



4
(6 đ)

-Vẽ hình đúng





a
- Chứng minh AB // DM và AB = DM => ABDM là hình bình hành
- Chỉ ra thêm AD
BM hoặc MA = MD rồi kết luận ABDM là hình thoi



b
- Chứng minh M là trực tâm của
ADC => AM
CD



c

MNC vuông tại N có NI là đường trung tuyến =>NI=MI=1/2MC =>
IMN cân tại I =>

Mà
(đ đ) =>
(1)

AND vuông tại N có NH là đường trung tuyến =>NH=DH=1/2AD =>
HDN cân tại H =>

Mặt khác

(vì
HDM vuông tại H)
Suy ra
+
hay IN
HN (đ.p.c.m)