De thi HSG Toan 8 cap truong 2015

Trường THCS Phổ Thạnh
Tổ Toán
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG CUỐI
Môn: Toán – Ngày thi: …./ 3 / 2015
Thời gian : 90 phút


Bài 1 (3 điểm): Cho biểu thức


a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?

Bài 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình :


b) Tìm các số x, y, z biết :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và


Bài 3 (1 điểm): Chứng minh với mọi n
thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.

Bài 4 (2 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và

b) Cho
và
. Tính SEBC?

Bài 5 (2 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức sau:

(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
(với
)












Bài 1 (3 điểm): Cho biểu thức


a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?

Bài 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình :


b) Tìm các số x, y, z biết :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
và


Bài 3 (3 điểm):Chứng minh với mọi n
thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.

Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và

b) Cho
và
. Tính SEBC?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
d) Kẻ

. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh
.

Bài 5 (2 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức sau:

(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
(với
)












Bài 1: (4 điểm)
Điều kiện: x

y; y
0 (1 điểm)
A = 2x(x+y) (2 điểm)
Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1
2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1

2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2
A + (x – y + 1)2 = 2

A = 2 – (x – y + 1)2
(do (x – y + 1)
(với mọi x ; y)
A
2. (0,5đ)
+ A = 2 khi



+ A = 1 khi
Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn:

+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a)


(1 điểm)




(0,5 điểm)