De thi HSG toan 8

Đề thi học sinh giỏi toán 8
Thời gian:90 phút
Bài 1: Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện
.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :

.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

.
Bài 3: Chứng minh rằng với x,y nguyên thì:
là số chính phương.
Bài 4: Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác, H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi? a.Chứng minh AQ = OM. b.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng. c.Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào?