đề thi HSG toán 8

TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)


ĐỀ
Câu 1: (5 điểm)
a) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
(x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1)
b) Phân tích đa thức thành nhân tử:
x3 – 6x2 +11x -6
Câu 2: (5 điểm)
a) Chứng minh rằng ( x2 + y2 + z2)2 = 2( x4 + y4 + z4) biết rằng x + y + z = 0
b) Tìm x , biết :

Câu 3: (3 điểm):
Cho biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên ?
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 4:(7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) đường cao AH . Trên tia HC lấy HD = HA
Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E .
Chứng minh AE = AB
Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM























TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN

ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐÁP ÁN
Câu
Nội dung
Điểm

1
a) (x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1)
= x4- 4x3 + 6x2 - 4x +1 – x4 - 6x2 + 4x3 + 4x
= 1
Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x
b) x3 – 6x2 +11x - 6
= x3 – x2 – 5x2 +5x + 6x – 6
= x2(x – 1) -5x( x -1) + 6( x – 1)
= (x -1) ( x2 -5x + 6)
= (x -1)( x – 2)(x -3)


1,5

1,0


1,5

1,0

2
Ta có : x + y + z = 0 x = -(y + z)
x2= [-(y + z)]2
x2= y2+ z2 + 2xz
x2- y2- z2 = 2xz
(x2- y2- z2)2 = (2xz)2
x4+ y4 + z4 -2x2y2 -2x2z2 +2y2z2 = 4x2z2
x4+ y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
x4+ y4 + z4+ x4+ y4 + z4 = x4+ y4 + z4+ 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
2(x4+ y4 + z4) = ( x2 + y2 + z2)2

b)







x=-1001.






1,0


1,0
0,5




1,0


0,5

0,5

0,5

3
A =

=
=
Muốn A nhận giá trị nguyên thì x2 +1 3) = {-3,-1 , 1 , 3}
Nếu x2 +1 = - 3 không có giá trị nào của x thỏa mãn
Nếu x2 +1 = -1 không có giá trị nào của x thỏa mãn
Nếu x2 +1 = 1 x = 0 thì A = 3
Nếu x2 +1 = 3 x2 = 2 x = thì A = 1
Vậy tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là: 0
A= nhận giá trị lớn nhất khi x2 +1 có giá trị nhỏ nhất .
Mà x2 +11 với mọi x R
Tức là x2 +1= 1 là nhỏ nhất khi đó A =
Nếu x2 +1 = 1 x = 0
Vậy khi x = 0 Thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 3