De thi HSG toan 8

PHÒNG GD & ĐT VŨ QUANG
Trường THCS Phan Đình Phùng
ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TOÁN 8
Năm học : 2016-2017
Thời gian làm bài :120 phút
(Không kể thời gian giao đề)


Câu 1: ( 4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 + 2x – 3 b) x7 + x2 +1 c) x4 – 4x3 - 7x2 + 16x – 3
Câu 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng n6 + n4 – 2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
Cho
và
.
Tính giá trị của biểu thức :

Câu 3: (3 điểm)
Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương.
Tìm x,y biết : x2 + 10y2 + 6xy – 4x - 14y + 5 = 0.
Câu 4: ( 2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) , đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Gọi M là trung điểm của BE . Chứng minh rằng HM là tia phân giác của góc AHC.
Câu 5 : ( 6 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a , M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB , AC sao cho
.
chứng minh rằng tích BD.DE không đổi.
Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE.
Tính chu vi tam giác AED nếu tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 6: (1 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
với x >-1
------Hết ------













Đáp án và biểu điểm
Câu 1

a) ( x - 1)(x2 + x +3)
b) (x2 + x +1)(x5- 4x4 + x2 – x + 1)
c) (x2 – 5x +1)( x2 + x – 3)
1đ
1,5đ
1,5đ

Câu 2
a) Ta có : A = n6 + n4 – 2n2 = n2(n2 – 1)(n2 +2 )
Xét các trường hợp n =2a và n = 2a + 1 để c/m A
8
Xét các trường hợp n =3b và n = 3b
1 để c/m A
9
Suy ra A
72
b)


0,5đ
0,5đ
0,5đ


1đ
0,5đ

Câu 3
a) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a,a+1,a+2,a+3
Ta có : a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a+1)2.
Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phương
b) x2 + 10y2 + 6xy – 4x - 14y + 5 = 0


2đ




2đ

Câu 4







-Vẽ hình đúng
-Kẻ EK BC ,EI AH .AM =KM vì chúng là các đường trung tuyến ứng với cùng một cạnh huyền của hai tam giác vuông. AH=AK vì cùng bằng EI.


Suy ra HM là tia phân giác của góc AHC.








0,5đ


1,5đ

Câu 5







a) Ta có
, mặt khác

mà
nên
. Do đó

0,5đ




2đ


















Câu 6
b)

Do đó

c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc CED. Kẻ MH vuông góc với DE,MI vuông goác với AB, MK vuông góc với AC. Ta có DH=DI,EH=EK,do đó chu vi tam giác ADE =AI+AK=2AK.
Ta lại có
, AC=2a nên AK=1,5a. Vậy chu vi tam giác ADE = 3a

Ta có :

Suy ra Amin = -1 khi x=0

2đ




2đ






1đ