Đề thi HSG toán 8

ĐỀ THI HS GIỎI TRƯỜNG – TOÁN 8
Bài 1 (1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4;
Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức:
P =

Tìm x để P xác định ; b, Rút gọn P.
c, Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên?
Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên chia hết cho 6 thì tổng của lập phương ba số nguyên cũng chia hết cho 6
b, Chứng minh bất đẳng thức:
. Với
là các số dương.
áp dụng : Tìm giá trị nhỏ nhất của
. với
dương và
.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A, D là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho :
MDN =
ABC. Chứng minh :
a, Hai tam giác BMD và CDN đồng dạng với nhau ; b, MD2 = MN . MB
Bài 5:(1,5 điểm)
Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Một đường thẳng qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
đáp án toán 8:
Bài 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3) (1điểm)
b, x2 + 2xy + 4y - 4 = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2) (1điểm)
Bài 2: a, Điều kiện: x (1điểm)
b, P = (1điểm)
(0,5điểm)

(0,5điểm)
c, P = (1điểm)
Với x nguyên thì P nhận giá trị nguyên khi x-1 là ước của 1: (0,5điểm)
TH1: x-1 = 1 => x = 2 (thõa mãn đk)
TH2: x - 1 = -1 => x = 0 (thõa mãn đk)
Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên chia hết cho 6 thì tổng của lập phương ba số nguyên cũng chia hết cho 6
(0,5điểm)

Bài 3: a, Giả sử a+b+c chia hết cho 6
Ta có: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a) (1điểm)
Ta chứng minh được (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2
Thực vậy: Nếu trong tích (a+b)(b+c)(c+a) có ít nhất một thừa số chia hết cho 2 thì tích đó chia hết cho 2
Nếu cả ba thừa số đều không chia hết cho 2. ta có: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1
=> 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l. Chứng tỏ a+c chia hết cho 2. Khi đó tích sẻ chia hết cho 2. (1điểm)
Vì (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2 nên:
3(a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 6
Mà (a+b+c)3 cũng chia hết cho 6 (vì a+b+c chia hết cho 6 )
Do đó (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho 6
Hay: a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 (1điểm)
b, Ta có : vì a > 0; b > 0