đề thi HSG toan 8

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC: 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)



Bài 1. (3.5 điểm)
Cho biểu thức

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2. (3.5 điểm)
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a2 + b2 +c2 < 2(ab + bc + ca)
b) Giải phương trình:

Bài 3. (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 4. (3 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc theo thứ tự bằng 10 km/h, 30 km/h, 50 km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Bài 5. (4.0 điểm)
Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng BE//MD, từ đó suy ra
.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Bài 6. (4.0 điểm)
Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = a,
. Một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.
a) Chứng minh rằng tích BM.DN có giá trị không đổi.
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD.

-------------------- Hết ------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN LỚP 8
Bài
Đáp án
Điểm

1.a
(1.5đ)
ĐK:

0.25





0.5





0.5




0.25

1.b
(1,0đ)
Với
, ta có: A < -1


0.25





0.25





0.25





0.25

1.c
(1,0đ)
Ta có
=




A nhận giá trị nguyên khi
nhận giá trị nguyên
0.25



x là ước của 3
0.25





0.5

2.a
(1,5đ)
a, b, c là ba cạnh của một tam giác
a < b+c, b < a+c, c < a+b
0.25


Suy ra: a2 < ab + ac
0.25


 b2 < ab + bc
0.25


 c2 < ac + bc
0.25


Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có :



a2+b2+c2 < ab+ac+ab+bc+ac+bc
a2+b2+c2 < 2(ab + bc + ca)
0.5

2.b
(2.0đ)
Giải phương trình:
(1)



Phân tích: 3y2 – 10y + 3 = (3y – 1)(y-3) ; 9y2 – 1 = (3y – 1)(3y + 1)



ĐKXĐ:

0.5


(1)


0.5



3y + 1 = 6y(y – 3) – 2(y - 3)(3y + 1)
0.5



y = 1 (TMĐK)
0.25


Vậy tập nghiệm của phương trình là

0.25

3
(2.0đ)

=

0.5

3
(2.0đ)
A đạt GTLN

lớn nhất
x2 – 2x+5 nhỏ nhất
0.5


Ta có: x2 – 2x + 5 = (x - 1)2 + 4
4
0.5


Dấu “=” xảy ra khi x = 1, khi đó

0.25