ĐỀ THI HSG TOÁN 8 -15-16

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học : 2015 -2016
Môn : Toán
Thời gian : 150 phút

ĐỀ BÀI
Bài 1: (2,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
x4 + 2013x2 + 2012x + 2013.
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị của a để (21x2 - 9x3 + x + x4 + a)
( x2 - x - 2)
b) Chứng minh rằng n4 - 2n3 - n2 + 2n chia hết cho 24 với mọi n
Z

Bài 3: (2,0 điểm)
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc
Cho
, (với x
0, y
0, z
0)
Tính giá trị của biểu thức


Bài 4: (2,5 điểm) Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A , Biết (x( =
.
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Bài 5 : (2 điểm)
a) Giải phương trình : .



b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =

Bài 6: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Bài 7: (3.5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 8: (4 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

---Hết---ĐÁP ÁN và THANG ĐIỂM
Bài 1: (2 điểm)
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =

=
(0.25 điểm)
=
= 3
(0.5 điểm)
= 3
. (0.25 điểm)
b)x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 = (x4 - x) + (2013x2+2012x+2013) (02.5 điểm)
= x(x3- 1) + 2013 (x2+x+1) (0.25 điểm)
= x(x -1) (x2+x+1) )+ 2013 (x2+x+1) (0.25 điểm)
= (x2+x+1) [x(x -1) + 2013] = (x2+x+1) (x2 –x + 2013) (0.25 điểm)
Bài 2: (2 điểm)
a)Thực hiện phép chia tìm đúng thương: x2 – 8x + 15
và dư: a + 30 (0.5 điểm)
Phép chia hết nên a + 30 = 0 suy ra a = -30 (0.5 điểm)
b) n4 - 2n3 - n2 + 2n = n(n3 -2n2 - n + 2)
= n{n2(n – 2) - (n -2)} (0.25 điểm)
n(n2 – 1)(n – 2) = n(n – 1)(n +1)(n – 2) (0.25 điểm)
n(n – 1)(n +1)(n – 2) là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4 (0.25 điểm)
nên n(n – 1)(n +1)(n – 2)
2.3.4 = 24
Kết luận n4 - 2n3 - n2 +