ĐỀ THI HSG TOÁN 6

Bài I. (6 điểm )
1)Thực hiện phép tính
a) A = (
+
-
):(
+
-
+
.
.
) + 1:(30. 1009 – 160)
b) M =

2) Chứng minh rằng: 11n + 2 + 122n + 1 Chia hết cho 133
3) Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:

;
;

Bài II : (4 điểm)
1) Cho A =
31 +32+33 + .....+ 32006
a, Tính A
b, Tìm x để 2A+3 = 3x
2) Cho S =
. Chứng minh rằng : 1< S < 2
Bài III: (2 Điểm). Tìm các số nguyên tố x,y sao cho: x2 + 45 = y2
Bài IV : (4 điểm )Cho
𝑥𝑂𝑦 và
𝑦𝑂𝑧 là hai góc kề bù thoả mãn
𝑥𝑂𝑦 =
5
4
𝑦𝑂𝑧
a) Tính số đo các góc xOy và yOz.
b) Kẻ tia Ot sao cho 𝑡𝑂𝑦 = 80o Tia Oy có là tia phân giác của
𝑡𝑂𝑧 không ? Tại sao ?
Bài V: (2 Điểm).
Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng:
1+ 2+ 3+ …….+ n =










Người ra đề


BGH duyệt Trương Thi Quyên






Bài
Hướng dẫn chấm
Điểm

I
1a (1đ)

Ta viết lại A như sau :
A=

+

=
+
= 1






0,5đ





0,5đ


1b
M =
=

=

=




0,25đ

0, 25đ

0,5đ



2
11n + 2 + 122n + 1 = 121 . 11n + 12 . 144n
=(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12
Tacó: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11)
( 144n – 11n chia hết 133 ( 11n + 1 + 122n + 1


1đ


1đ


3
 Ta có
12
21 =
4
7, các phân số
5
3
4
7,
6
11 tối giản nên tồn tại các số tự nhiên k, l, m sao cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m.
Từ các đẳng thức 3k=4n, và 7n = 6m ta có 4n
5 và 7n
6 mà (4,5)=1; (7,6)=1 nên :
n
5, n
6 mặt khác (5,6) =1 do đó n
30
để các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất và phải khác 0 , ta chọn n nhỏ nhất bằng 30 suy ra: k =24, m=35
vậy a=72, b=120, c=210, d=385.




1đ




1đ

II
1a

A = 31 +32+33 + ...+ 32014
3A =32+33 +34+. ..+ 32015
3A – A = 32015 -3
A =
3
2015−3
2


1đ



1b
Ta có : 2.
3
2015−3
2 +3 = 3x =>
32015 -3 +3 = 3x => 32015 = 3x => x = 2015


1đ


2

S =

=> S >
(1)
S=

=> S <
(2)
Từ (1) và (2) => 1 < S < 2


1 đ



1 đ




III


X2 + 45 = y2 => y2 > 45. Do đó y là số nguyên tố lẻ
Suy ra x là số nguyên tố chẵn nên x = 2. Từ đó ta có:
y2 = 4 + 45 suy ra y2 = 49 => y = 7


2đ

IV
a
Cho 𝑥𝑂𝑦 và
𝑦𝑂𝑧 là hai góc kề bù thoả mãn
𝑥𝑂𝑦 =
5
4
𝑦𝑂𝑧.
Tính số đo các góc xOy và yOz.





Vẽ hình đúng
0,5đ



Lập luận 𝑥𝑂𝑦 +
𝑦𝑂𝑧 = 1800
 0,5đ



Mà