Đề thi HSG Toăn

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NÚI THÀNH NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi : TOÁN
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề )
Ngày thi : 18 / 4 / 2017

Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức :

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
b) Q = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Bài 3: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Tìm các số x, y, z biết: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2015 + y2015 + z2015 = 91008
c) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 4: (6 điểm) Cho (ABC vuông tại A. Lấy một điểm D bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BD tại E và cắt BA tại M.
a) Chứng minh: MA.MB = ME.MC và

b) Cho
và SAME = 45 cm2. Tính SBMC
c) Chứng minh BD.BE + CD.CA = BC2
Bài 5: (2 điểm) Cho biểu thức E = (x105 + y105 + x105) – (x101 + y101 + z101), với x, y, z là các số nguyên dương. Chứng minh rằng E chia hết cho 30.

======= Hết =======


(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ................................................................Số báo danh: ..................




BÀI GIẢI:
Bài 1:
a) Rút gọn biểu thức

Ta có: 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = 2x3 – 12x2 + 18x + 5x2 – 30x + 45
= 2x(x2 – 6x + 9) + 5(x2 – 6x + 9) = (2x + 5)(x – 3)2
và: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = 3x3 – 18x2 + 27x – x2 + 6x – 9
= 3x(x2 – 6x + 9) – (x2 – 6x + 9) = (3x – 1)(x – 3)2



b) Tìm giá trị của x để A > 0:
Để A > 0

. Lập bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu:
A > 0

hoặc

c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:
A
Z
3A
Z


Để 3A
Z thì

Z hay 3x – 1 là ước của 17
3x – 1 = {
1;
17}
+ Với 3x – 1 = – 1
3x = 0
x = 0
Z khi đó A = – 5
Z (thỏa)
+ Với 3x – 1 = 1
3x = 2
x =

Z (loại)
+ Với 3x – 1 = – 17
3x = – 16
x =

Z (loại)
+ Với 3x – 1 = 17
3x = 18
x = 6
Z khi đó A = 1
Z (thỏa)
Vậy với x = 0 hoặc x = 6 thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) P = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) – 24
= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 24. Đặt t = x2 + 7x + 11
Thì P = (t +1)(t – 1) – 24 = t2 – 1 – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5)
Do đó P = (x2 + 7x + 11 – 5)(x2 + 7x + 11 + 5) = (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16)
Mặt khác x2 + 7x + 6 = x2 + x + 6x + 6 = x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(x + 6)

P = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16)