Đề thi HSG Tỉnh Toán 8 Bắc Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH
BẮC GIANGNĂM HỌC: 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN – LỚP 8
ĐỀ CHÍNH THỨCNgàythi: 21 / 3 / 2015
(Đềthicó01 trang) Thờigianlàmbài 150 phút.
(Khôngkểthờigiangiaođề) _________________________
Câu 1 ( 4,0điểm )
Phântíchđathứcthànhnhântử: P = 21x4 + 3x3 + 2036x2 + 3x +2015với x ∈𝑅.
Cho cácsốthựcx,yKhác 0 thỏamãn: x2013+ y2013= x2014 + y2014= x2015 + y2015 .
TínhS = x2016 + y2016 .
Câu 2 ( 5,0điểm )
Cho biểuthức B =
1−
𝑥
3
1−𝑥−𝑥)
2 + 𝑥 −
𝑥
2
𝑥
3−3
𝑥
2+4).
Tìm x để B cónghĩa, khidodhãyrútgọn B.
Tìmcácgiátrịcủa x ∈𝑅 để B >0 .
Giảiphươngtrình: (x - 3)2 + 4 =
4
𝑥(3−
1
𝑋) .
Câu 3 ( 4,0điểm )
Cho đathức f(x) = ax2 + bx + c vớia,b,clàcácsốhữutỉ. Biếtrằngf(0), f(1), f(2) cógiátrịnguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b cógiátrịnguyên.
Tìmsốtựnhiên n để P = n7 + n5 +1 làsốnguyêntố.
Câu 4 ( 6,0điểm )
Cho hìnhchữnhật ABCD vàđiểm T nằmtrênđoạn BD. Gợi M làđiểmđốixứngvới C qua T. Gọi E, F lầnlượtlàhìnhchiếucủa M trêncácđườngthẳng AB, AD.
Chứng minh rằng EF // AC và 3 điểm E, F, T thẳnghàng.
Cho CT vuônggócvới BD, TD : TB = 9 : 16 và CT = 2,4. Tínhđộdàicáccạnhcủahìnhchữnhật
Cho tam giác ABC nhọncốcácđườngcao AM, BN, CP .Gọi H làtrựctâmcủa tam giác ABC. Chứng minh rằng(𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴
2
𝐴𝑀
2+
𝐵𝑁
2
𝐶𝑃
2 ≥4 .
Câu 5 ( 1,0điểm )
Cho cácsốthựckhôngâm x, y, z thỏamãn x2 + y2 + z2 = 2. Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:
M =
𝑥
2
𝑥
2+𝑦𝑧+𝑥+1+
𝑦+𝑧
𝑥+𝑦+𝑧+1+
1
𝑥𝑦𝑧+3