De thi HSG tinh Nam Dinh (hot)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
NAM ĐỊNH Năm học 2004-2005
-------- ---------------------------
Môn : TOÁN Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm)
Giải phương trình:


Bài 2 (4 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2 – (m2 + m + 1)(x – n2 – 1) – (n2 + 1)2 = 0 với ẩn là x.
Biết rằng m = 321,657 và n = 123,546. Hãy tính gần đúng các nghiệm của phương trình tới 3 chữ số sau dấu phẩy.
Cho các số nguyên dương m và n sao cho m ( n, m là số chính phương và m + n là số lẻ. Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm nguyên, dương, không là số chính phương.

Bài 3 (4 điểm)
Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3.
Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 6 số có tổng chia hết cho 6.

Bài 4 (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và nội tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng các tứ giác (lồi hoặc không lồi) OABC và OADC có diện tích bằng nhau.

Bài 5 (5 điểm)
Cho hai đường tròn tâm O bán kính R và tâm O` bán kính R` cắt nhau tại A và B sao cho OA và O`A vuông góc với nhau. Đường thẳng OO` cắt hai đường tròn tại các điểm C, E, D, F sao cho các điểm C, O, E, D, O`, F nằm trên đường thẳng OO` theo đúng thứ tự đó. BE cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai P và cắt CA tại M. BD cắt đường tròn tâm O` tại điểm thứ hai Q và cắt AF tại N. Chứng minh rằng:
Ba điểm C, A, Q thẳng hàng.
Các đường thẳng MN và CF song song với nhau.


 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
NAM ĐỊNH Năm học 2004-2005
-------- ---------------------------
Môn : TOÁN Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm)
Tìm các số a, b, c biết rằng đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 chia hết cho đa thức (x – 1)3
Cho các số a, b, c đôi một khác nhau và các đa thức




Chứng minh rằng (P(x))2 = Q(x)

Bài 2 (4 điểm)
Tìm tất cả các bộ số thực (x; y; z) thoả mãn các điều kiện


Bài 3 (4 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = a2b2.

Bài 4. (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 1. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. AN cắt DM tại P và BN cắt CM tại Q. Xác định vị trí của các điểm M và N sao cho diện tích tứ giác MPNQ lớn nhất.

Bài 5 (4 điểm)
Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Đường phân giác của góc B cắt AC tại điểm E. Biết rằng BC = BE + EA. Hãy tính góc A.