Đề thi HSG tỉnh năm 2009 của huyện Hương Thủy

PHÒNG GD&ĐT HƯƠNG THỦY KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 2008 - 2009
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4điểm)
a/ Chứng minh rằng:
+
=
.
b/ Giải hệ phương trình gồm hai phương trình sau:

(1) và
(2).
Câu 2: (6 điểm)
a/ Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình: (x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2 + 49)
b/ Tìm n ( Z để n + 26 và n – 11 đều là lập phương của số nguyên dương.
c/ Cho biểu thức A = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 3002. Tìm giá trị x và y để A đạt min.
Câu 3: (2điểm)
Giải hệ phương trình:
.

Câu 4: (4 điểm) Cho (ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với hai đường cao AD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Kẻ đường kính BM của (O). Gọi I là giao điểm của BM và DE, K là giao điểm của AC và HM.
a/ Chứng minh rằng: Các tứ giác AEDC và CMID là các tứ giác nội tiếp.
b/ Chứng minh rằng: OK ( AC.

Câu 5: (4 điểm) Cho (ABC nội tiếp (O) và một điểm M bất kỳ trên đường thẳng BC (M ( B và C). Vẽ đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B; vẽ đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là P.
Chứng minh rằng: P ( (O) và đường thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên BC.

--- Hết ---





ĐÁP ÁN TOÁN HSG HUYỆN 2008 - 2009
Câu 1: a/ (2 đ) Để ý rằng 2 +
=
=
. Tương tự thì 2 –
=

Vế trái:
+
=
+
=
=
=
: Vế phải.
b/ (2đ) Điều kiện: x2 ( 1; y2 ( 1; xy + 2 ( 0. Từ phương trình (1) ta có x2 + y2 = x2y2 (3).
Bình phương hai vế phương trình (2) ta có x2 – 1+ y2 – 1 + 2
= xy + 2 hay
x2 + y2 +2
– xy – 4 = 0 (4). Thay (3) vào (4) ta có PT: (xy)2 – xy – 2 = 0 ( (xy – 2)(xy + 1) = 0 ( xy – 2 = 0 hoặc xy + 1 = 0.
* Nếu xy – 2 = 0 ( xy = 2 thì thay vào (3) ta có được: x2 + y2 = 4 ( (x + y)2 – 2xy = 4 ( (x + y)2 = 8 ( x + y =
. Giải hệ
(
hoặc
. Các giá trị x; y tìm được đều thỏa điều kiện nên được chọn.
* Nếu xy + 1 = 0 hay xy = – 1 thì thay vào (3) ta có được x2 + y2 = 1 ( (x + y)2 – 2xy = 1 ( (x + y)2 = – 1 < 0: Vô lý.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: (x; y) = (
;
) và (–
; –
).
Câu 2
a/ (2điểm) Biến đổi tương đương PT đã cho: (*) ( [x2 + 4(y2 + 7)]2 = 17[x4 + (y2 + 7)2]
( x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2 ( 16x4 – 8x2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = 0 ( [4x2 – (y2 + 7)]2 = 0 ( 4x2 – y2 – 7 = 0 ( (2x – y)(2x + y) = 7 (1)
Vì x; y ( N nên 2x – y ( 2x + y và 2x + y ( 0, chúng đều có giá trị nguyên nên suy được
(
. Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là: (2; 3).
Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có:
[1x2 + 4(y2 + 7)]2 ( (12 + 42)[x4 + (y2 + 7)2] hay [x2 + 4(y2 + 7)]2 ( 17[x4 + (y2 + 7)2], dấu bằng xảy ra (tức là có PT (*)) khi 4x2 = y2 + 7 ( (2x – y)(2x + y) = 7. Làm tiếp như trên.

b/(2 điểm)