Đề thi HSG môn toán lớp 6

phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 6
Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )



Câu 1: (6,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15.
b) Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp để:
chia hết cho 99
c) Tìm số tự nhiên n sao cho 4n-5 chia hết 2n-1.

Câu 2: (5,0 điểm)
a) Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
b) Chứng minh rắng:

c) Tìm số tự nhiên x biết:

Câu 3: ( 2,0 điểm)
so sánh:
A =
với B =


Câu 4: ( 2,0 điểm)
Cho x,y,z là các số nguyên dương. Chứng minh rằng biểu thức sau không có giá trị nguyên.


Câu 5: ( 5,0 điểm)
a) Cho góc xOy bằng 800, góc xOz bằng 300 . Tính số đo góc yOz ?
b) Cho 4 điểm A; B; C; D không nằm trên đường thẳng a. Chứng minh rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD.

----------- Hết -----------
(giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Hướng dẫn chấm thi olympic
Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán Lớp 6



Câu 1: (6 điểm)

a) ( 2 điểm) Gọi số tự nhiên phải tìm là x.
- Từ giả thiết suy ra
và
và
x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. 0,5 đ

- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700
. 0,5 đ
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra

k = 1 0,5 đ

x + 20 = 700
x = 680. 0,5 đ
( 2 điểm) Đặt A =
99
A
11 và A
9 0,5 đ
Từ A
11 tìm được y – x = 3
Từ A
9 tìm được x + y = 4 hoặc y + x = 13 1 đ
(x + y và x – y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ)
TH: y – x = 3; x + y = 4 ( loại)
TH: y – x = 3; y + x = 13
x = 5, y = 8 0,5 đ Đ/S: 519948
c) (2 điểm)
mà

Nên

Hay
0.75đ
Để


Ư(3) = {1 ; 3} 0.5 đ

0.5 đ
Do đó n{1 ; 2} 0.25 đ

Câu 2 : ( 5 điểm)
a, (2 điểm) Gọi số phải tìm là a.
Ta có: a = 7m + 5 và a = 13n + 4 với m,n x
N*
Cộng thêm 9 vào số a ta được:
a + 9 = 7m + 14 = 7(m + 2)
7
a + 9 = 13n + 13 = 13(n + 1)
13
a + 9
7 và a + 9
13 mà (7,13) = 1 nên a + 9
7. 13
hay a + 9
91.
Do đó: a = 91k – 9 = 91k – 91 + 82
a = 91(k – 1) + 82
Vậy a chia cho 91 dư 82
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25d
0,25đ
0,25đ

b) ( 2 điểm) Đặt A=
0,25 đ
( 2A=
0,5 đ
( 2A+A =3A = 1