Đề thi HSG môn Toán huyện U minh - Cà Mau năm 09-10 (có Đáp án)

PHÒNG GD&ĐT U MINH THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
ĐỀ CHÍNH THỨC VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi : Toán
Ngày thi : 20/12/2009
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1 : (3,0 điểm)
Cho đẳng thức : M =

Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn biểu thức M.
Với giá trị nào của x để M > 0.
Bài 2 : (4,0 điểm)
a) Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 và

Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 = 1
b) Chứng minh đẳng thức sau:
a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho đa thức f(n) = n 5 – 5n3 + 4n với n nguyên dương.
a) Phân tích đa thức f(n) thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng đa thức trên chia hết cho 120 với mọi giá trị nguyên dương n.
Bài 4: (4,0 điểm)
Giải phương trình và hệ phương trình sau .
a)

b)

Bài 5: (3,0 điểm)
Cho ΔABC cân ở A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở đáy bằng α.
Chứng minh rằng:
SABC=


Bài 6: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm 0, đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (0). Gọi K là giao điểm của CF và ED .
Chứng minh rằng 4 điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn.
Tam giác BKC là tam giác gì? vì sao ?.

-------------------- HẾT---------------------




PHÒNG GD&ĐT U MINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Toán

Bài 1: (3.0 điểm)
a) M =

Điều kiện: x > 0 , x
1 0,75 điểm
M =
0,25điểm
=
0,25 điểm
=
0,25 điểm
=
0,5 điểm
b)Để M > 0 thì
> 0 0,25 điểm

1- x > 0 0,25 điểm

x < 1 0,25 điểm
Kết hợp với điều kiện ta được 0Bài 2 : (4,0 điểm)
a) Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 và

Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 = 1
Từ a + b + c = 1
1 = a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc +ca ) 0,75 điểm
Từ

ab + bc +ca = 0 0,75 điểm
Suy ra a2 + b2 + c2 = 1 ĐPCM 0,5 điểm
b) Chứng minh đẳng thức sau:
a2 +b2 + c2
ab + bc + ca

a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca
0 0,5 điểm

2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc – 2ca
0 0,5 điểm

( a2 – 2ab + b2 )+ ( b2 – 2bc + c2 ) + ( a2 – 2ca + c2 )
0 0,5 điểm

(a – b )2 + ( b – c )2 + ( a – c )2
0 ( Bất đẳng thức trên đúng ) 0,25 điểm
Do đó a2 +b2 + c2
ab + bc + ca là bất đẳng thức đúng. 0,25 điểm
Bài 3: ( 3,0 điểm)
a)f(n) = n(n4 – 5n2 + 4) 0,5 điểm
= n(n2 – 1)(n2 – 4) 0,5 điểm
= n(n – 1)(n + 1)(n -2)(n + 2) 0,5 điểm b)f(n) là tích của 5 số nguyên liên tiếp. Trong 5 số chắc chắn có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5. 0,5 điểm
Trong 5 số đó có ít nhất hai số chẵn liên tiếp, một số chia hết cho 2 còn số kia chia hết