ĐỀ THI HSG LỚP 9 - MÔN TOÁN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HÓA



(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015



Câu 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức:



a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x biết A = 8;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Câu 2: (3,0 điểm).
a) Tìm các giá trị của a, b sao cho đồ thị hàm số y = (a – 3)x + b song song với đường thẳng y = –2x + 1 đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = 5x + 5 và y = x – 3.
b) Tìm
thỏa mãn


Câu 3: (4,0 điểm).
a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Tính giá trị của biểu thức:
.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + 1)(x
+ 1) = (2y + 1)
.

Câu 4: (5,0 điểm). Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E.
a) Chứng minh
đồng dạng với
;
b) Chứng minh CM vuông góc với OE;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài dây AB.

Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC.

Câu 6. (2,0 điểm). Cho: x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1. Tính A = x2015 + y2015 + z2015




Họ tên học sinh: .................................................; Số báo danh: ....................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HÓA


HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán


Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1

4,0 đ

a.
(2,0đ)
ĐKXĐ










0,5 đ


0,5 đ


0,5 đ


0,5 đ


b.
(1,0đ)
Với


A = 8






(thỏa mãn đk)
Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8.

0,25 đ

0,25 đ




0,5 đ


c.
(1,0đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:


Dấu “=” xảy ra
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTNN của A = 4 khi x = 4.



0,5 đ

0,5 đ


Câu 2

3,0 đ

a.
(1,5đ)
Vì đường thẳng (d): y = (a - 3)x + b song song với đường thẳng y = -2x + 1 nên:
a - 3 = -2 và b
1 => a = 1; b
1
Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x - 3 là M(-2;-5)
Vì (d): y = -2x + b đi qua M(-2;-5) => b = -9 (thỏa mãn)
Vậy a = 1; b = -9.

0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ

b.
(1,5đ)
+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm.


+ Trường hợp xyz
0:





=





+ Vậy các cặp số (x; y; z) cần tìm là
(x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = (
)


0,5 đ






0,