Đề thi HSG lớp 8

PHÒNG GD & ĐT BÌNH SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN TOÁN
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:

.
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:

.
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho:
.
Chứng minh rằng:
.
Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.




Một lời giải:

Bài 1:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =

=

=
= 3

= 3
.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =

=
=
.
Bài 2:










Bài 3:

.
ĐKXĐ:
.
Đặt a = x – 2010 (a
0), ta có hệ thức:








(thoả ĐK)
Suy ra x =
hoặc x =
(thoả ĐK)
Vậy x =
và x =
là giá trị cần tìm.
Bài 4:


=

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.
Bài 5:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì
)
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân
giác của
.
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất
AD nhỏ nhất

D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 6:
a) Đặt
.
Ta có
(*)
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.


(1)
Ta có
(2)
(1) & (2)

(**)
(*) & (**)

.
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:

,











(3)
Ta lại có CD + BD = 8 (4)
(3) & (4)
BD = 2,5