Đề thi HSG huyện Tam Dương và Yên Lạc

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học: 2012-2013
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi này gồm 01 trang.


 Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Câu 1: (2,5 điểm )
a) Phân tích đa thức
thành nhân tử.
b) Cho các số nguyên
thoả mãn
. Tính giá trị của biểu thức
.
Câu 2: (2,5 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên:

Giải phương trình:
.
Câu 3: (2,5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
b) Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
.
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.
c) Kẻ

. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh
.

====== HẾT ======
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD…………………




PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
H ƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8
NĂM HỌC 2012-2013
HDC này gồm 2 trang





Câu
Nội dung chính
Điểm

1
(2,5đ)

a) Ta có




.
0,5

0,5
0,25


b) Đặt

;




Ta có:


. Do
là số nguyên có tổng bằng 0 và
nên




0,25

0,5

0,5

2
(2,5đ)

a)

Ta có:

Lại có:

Suy ra
. Mà

Lần lượt thử ta được
là nghiệm của phương trình.

0,25

0,5
0,5


b)

Đặt
Ta có



Mà
nên
hoặc

PT có nghiệm là
.

0,5
0,5


0,25








3
(2,5đ)
a) Ta có:



8100312,5
8100312,5

Vậy Min



0,5

0,5

0,25



b) Đặt



Áp dụng BĐT
và
với
dương, dấu bằng xảy ra

Ta có

Bởi vậy

=
(ĐPCM)



0,25



0,25


0,5






0,25
















4
 a) Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh
EBD đồng dạng với
ECA (g-g)
- Từ đó suy ra


0,25

0,25



 b) Kẻ MI vuông góc với BC (
. Ta có
BIM đồng dạng với
BDC (g-g)

(1)
Tương tự:
ACB đồng dạng với
ICM (g-g)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
(không đổi)


0,5

0,25

0,25




c) Chứng minh
BHD đồng dạng với
DHC (g-g)


- Chứng minh
DPB đồng dạng với
CQD (c-g-c)

mà



0,25

0,25

0,25

0,25


Ghi chú :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.

=====================





PHÒNG GD&ĐT
VĨNH TƯỜNG

ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN LỚP 8