ĐÊ THI HSG CẤP TRƯỜNG TOÁN 8

Phòng GD&ĐT Chưprông
Trường THCS Nguyễn Chí Thanh

 Đề thi Học sinh giỏi Lớp 8
Năm học :2010-2011
Môn: Toán
Thời gian :90 phút


Điểm



Lời phê của giáo viên

ĐỀ

Câu1 (2điểm).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a.

b. x3 – 5x2 + 8x – 4


Câu 2 (2 điểm).
a. chứng minh rằng : a)

b. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:


Câu 34 điểm).
Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b .
Vẽ các đường phân giác BD, CE
a. Chứng minh rằng DE // BC
b. Tính DE từ đó suy ra


Câu 4(2 điểm). :
a. Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn x2 = y2 + 2y +13

b. Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.












ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM




Câu 1

a) x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
b) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2
( 0,5 đ )

( 0,5 đ )
( 0,5 đ )

( 0,5 đ )




Câu 2:

a) Ta xét hiệu:
=

=
=
.
Vậy
; Dấu bằng xảy ra khi a = b.
b) Từ: a + b + c = 1




Dấu bằng xảy ra
a = b = c =

( 0,5 đ )




( 0,5 đ )



( 0,5 đ )








( 0,5 đ )













Câu 3:


















Vẽ hình đúng
a)


(1)



(2)
Từ (1) và (2) suy ra

DE//BC
b)
DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x
áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có
hay

=> ax +bx =ab ; x =
= DE
Suy ra





0.5đ
0.5đ

0.5đ

0.5đ


0.5đ
0.5đ


0.5đ

0.5đ




Câu 4

a) -HS biến đổi được
x2 = y2 + 2y +13
x2 = (y + 1)2 + 12

(x + y + 1)(x - y - 1) = 12
Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y
N* nên
(x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai số nguyên dương chẵn.
Mà 12 = 2.6
Chỉ xảy ra một trường hợp
(x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2
x = 4 và y = 1

b) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n
Z )
Ta có ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n
= 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n
= 3n (n-1) (n+1) +9n