De thi hsg cap truong lop 9

TRƯỜNG THCS HIỆP THẠNH

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :27/10/2012


Câu 1: (2,0 điểm) Rút gọn
b)
Câu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức: A =

Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
CMR: A = 1 -

Câu 3: (1,0 điểm) Cho a, b là các số thực thỏa: 7a2 + b2 = 8ab (
).
Tính giá trị biểu thức: M = 1 +

Câu 4: (2,0điểm)
CMR: với mọi số thực a, b ta luôn có: a2 + b2 + b +

Tìm giá trị lớn nhất của A =

Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n
Z )
Câu 6: (1,5 điểm) Cho ba số: a = 11.......1 (1998 chữ số 1)
b = 111.......1 (1000 chữ số 1)
c = 66........6 (999 chữ số 6)
Chứng minh rằng: A = a + b + c + 8 là số chính phương.
Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên lẻ, thì:
A =

Câu 8 : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương.
Câu 9: (2,0điểm) Cho tam giác ABC có
, vẽ đường trung tuyến AM. Trên AC lấy điểm D sao cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K. Chứng minh rằng: KA = KD.
Câu 10:(2,0điểm) Cho tam giác ABC và M là một điểm thuộc cạnh BC (
). Chứng minh rằng: MA.BC < MC. AB + MB.AC
Câu 11:(3,điểm) Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM?

. . . . . . . HẾT . . . . . . .
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị không được giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh : ...................................... Giám thị 1: ...................................Ký tên...................
Số Báo danh ........................................... Giám thị 2: ...................................Ký tên...................








TRƯỜNG THCS HIỆP THẠNH


 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013
Môn : TOÁN
Ngày thi :27/10/2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM

Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n
Z )
A = n3 – 6n2 – 12n + 18
A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 0,25đ

A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 0,5đ
Do n(n – 1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1)
6 0,5đ
Mặt khác – 6n2 – 12n + 18
6 nên A
6 0,25đ

Câu 6: (1,5 điểm) Cho ba số: a = 11.......1 (1998 chữ số 1)
b = 111.......1 (1000 chữ số 1)
c = 66........6 (999 chữ số 6)
Chứng minh rằng: A = a + b + c + 8 là số chính phương.
Ta có: A =
+
+ 6 .
+ 8 (0,25đ)
=
(0,25đ)
=
(0,5đ)
Lập luận được 10999 + 8
3 (0,25đ)
KL: A = a + b + c + 8 là số chính phương. (0,25đ)
Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên lẻ, thì:
A =

Ta có:
(0,25đ)

(0,5đ)
Vì n lẻ nên 17n + 12n
(0,5đ)
Vậy A
với mọi n là số tự nhiên lẻ (0,25đ)
Câu 8: (1,5điểm)