Đề thi HSG cấp trường

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ
KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2017 - 2018
Môn: Toán 8
Ngày thi: 18 - 01 - 2018
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1(2,0 điểm).
Cho biểu thức:

(Với x ≠ 0 và x ≠ ±1)
a) Rút gọn P;
b) Tìm x để P =
.
Bài 2(2,0 điểm).
a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử.
b) Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Bài 3(1,5 điểm).
a) Giải phương trình sau:

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:

Bài 4:( 3,5 điểm )
Cho hình thang ABCD có
= 900, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên AC; M, P, Q lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD.
Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân.
Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
Chứng minh AQ vuông góc với DP
Chứng minh

Bài 5 :(1 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức sau :
( với x,y cùng dấu )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

với x ≠ 0; y ≠ 0



PHÒNG GD & ĐT LƯƠNG TÀI
TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán- Lớp 8



Bài 1(2,0 điểm).

1
(2,0)

Với x ≠ 0 và x ≠ ±1
0,25




0,5




0.5









0.25






0.25


x=1/2 ( thỏa mãn ĐKXĐ), x = -1 ( không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy với


0.25

Bài 2(2,0 điểm).

2
(2 đ)
a)x3 – 5x2 + 8x – 4 = = (x3 - x2 ) - (4x2 - 4x) + (4x - 4)
= x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2

0,75
0,5


b) Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x)
Khi đó f(x) = (x - a). Q(x), trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên.
Vì thế f(0) = (- a).Q(0) (*); f(1) = (1 - a).Q(1) (**)
Vì f(0) là số lẻ nên từ (*) suy ra a là số lẻ. Vì f(1) là số lẻ nên từ (**) suy ra 1- a cũng là số lẻ. Nghĩa là a và 1- a là hai số lẻ, mâu thuẫn. Tức là điều giả sử là sai.
Vậy f(x) không có nghiệm nguyên.


0,25

0,25
0,25




Bài 3: (1,5 điểm)
3
(1,5)
a) ĐK:



Vậy phương trình có nghiệm x = 0


0,25
0,25
0,25


a) Ta có



0,25


Vì x, y nguyên nên từ (*)

Vậy

HS có thể đưa về
rồi biên luận theo tích 2 số nguyên liên tiếp là SCP


0,5

Bài 5:(3,5 điểm)
Phần
Nội dung đáp án
Điểm


Vẽ hình đúng và ghi đầy đủ GT-KL
0,5đ

a)

1đ


+/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau
lại có
=900 nên ABMD là hình vuông.
0,5


+/
BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và
BM =
DC

BMD vuông tại B
0,25


lại có
= 450

BMD vuông cân tại B
0,25

b)

0,5đ


Tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM
0,25