Đề thi HSG các năm ( có đáp án)

Trường THCS Bồ Lý Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học: 2005 - 2006
Môn: Toán
( Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề bài:
Câu 1: a)Tìm số dư trong phép chia 32003 chia cho 13
b) Chứng minh rằng:
22225555 + 55552222 7
Câu 2: Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thoả mãn:
a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
Hỏi tam giác này là tam giác gì ?
Câu 3: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức;
E =
Câu 4: Chứng minh rằng, nếu ba số a,b,c thoả mãn:
a+b+c = 2000 và
thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2000
Câu 5: Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao AA’ , BB’ , CC’ đồng quy tại H. Chứng minh rằng:

Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Câu 6: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng:
a) MB + MC < AB + AC
b) p < MA + MB + MC < 2p ( p là nửa chu vi của tam giác ABC)


____________________________



Trường THCS Bồ Lý Đáp án
chấm thi học sinh giỏi năm học 2005 - 2006
môn toán lớp 9
Câu 1: (2 điểm). đúng mỗi phần cho 1 điểm
a)Ta có 33 =27 ( 1 ( mod 13)
mà 2003 = 3.667 + 2
( 32003 = 33.667+2 = ( 9 ( mod 13)
Vậy dư trong phép chia 32003 chia cho 13 là 9

b) Ta có 2222 ( - 4 ( mod 7) và 5555 ( 4 ( mod 7)
( 22225555 + 55552222 ( (- 4)5555 + ( 4)2222 ( mod 7)
mà (- 4)5555 + (4)2222 = (- 4)2222( 43333 - 1) 43 -1 = 63 7
Vậy 22225555 + 55552222 7
Câu 2: (1,5 điểm)
áp dụng hằng đẳng thức:
a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a+b+c)( a2 + b2 +c2 - ab - ac - bc) mà từ giả thiết suy ra:
( a+b+c)( a2 + b2 +c2 - ab - ac - bc) = 0 0,25 đ
mà a+ b + c > 0 ( a2 + b2 +c2 - ab - ac - bc = 0 0,25đ
( 2a2 +2 b2 +2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
( ( a - b)2 + ( b - c)2 + ( c - a)2 = 0 0,5đ
( a - b = 0, b - c = 0, c - a = 0
( a = b = c ( tam giác đó là tam giác đều. 0,5đ
Câu 3: (2 điểm)
Đặt ( abc = 1
( x + y = c(a + b) ; y + z = a(b + c) ; z + x = b( c + a)
( E =