De thi HSG

ĐỀ THI
CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 150 phút.


Bài 1: a) Tính giá trị của biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 1972, biết rằng


b) Chứng minh rằng:
Bài 2: Giải các phương trình sau:

.

với
.
Bài 3: Tìm trên đường thẳng y = x + 1 những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức
.
Bài 4: Cho
ABC (AB = AC). Vẽ đường tròn có tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (I khác D và E). Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N .
Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi.
Chứng minh hệ thức

Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để
AMN có diện tích lớn nhất.
Bài 5: Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =
.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯƠNG KHÊ.


Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính.


Bài
Lời giải tóm tắt
Điểm

1
a) Ta có x3 = 6 + 3x ( x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y ( y3 – 3y = 34.
Do đó P = 6 + 34 + 1972 = 2012.
b) Đặt S = 1 +
+
+ .... +

Ta có S >
+
+ .... +
=
.50 = 5
(1)
Mặt khác: 1=
<
;
; ...;
=
.
Cộng vế theo vế có:
S <

S < 2{(
}= 2
=10
(2)
Từ (1) và (2)
5
< S < 10
(đpcm).
6.0 điểm

2
a) Đk: x ≤ -1 hoặc x ≥ 2. Ta có


. Đặt
, có:
t2 - 3t + 2 = 0 ( t = 1 hoặc t = 2.
Với t = 1: x2 – x – 2 = 1 ( x2 – x – 3 = 0 (
(tm)
Với t = 2: x2 – x – 2 = 4 ( x2 – x – 6 = 0 (
(tm)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm trên.
b) ĐK: x > y ≥ 0. Bình phương hai vế ta có:
.
Nếu x + y – 2 ≠ 0 thì từ (*) suy ra
. Do đó VP của (*) là số hữu tỉ còn VT là số vô tỉ. Vô lý. Vậy x + y – 2 = 0. Từ (*) suy ra :


4.0 điểm

3
ĐK: x ≥ 0. Giả sử điểm (x0; y0) thuộc đường thẳng y = x + 1 thỏa mãn
. Khi đó, ta có:

Thay lần lượt vào y = x + 1 tìm được x0 = 1; y0 = 2 thỏa mãn.
2.0 điểm

4


AD = AE; IM = ID; IN = IE (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau). Chứng minh chu vi bằng 2AD không đổi.
Ta có ((MON = (1800 - (A)/2;
(B = (C = (1800 - (A)/2. Suy ra (BMO, (OMN và (CON đồng dạng với nhau suy ra


6.0 điểm


Ta có SAMN lớn nhất ( SBMNC bé nhất. Ta có:
( R: bán kính đường tròn)


R; BD không đổi
nhỏ nhất khi BM + CN nhỏ nhất .
Mặt khác ta có
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BM = CN.
Hay BM + CN bé nhất bằng 2R khi BM = CN = R khi và chỉ khi MN // BC hay I là trung điểm của cung nhỏ DE.
Vậy SAMN lớn nhất ( I là trung điểm của cung nhỏ DE.


5
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 bộ số
và
ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng
khi và chỉ khi

2.0 điểm