đề thi hsg

đề kiểm tra học sinh giỏi
Năm học 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút
đề bài:
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:
P =
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:
a)
b)
c)
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó.
Bài 4 (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.
Tứ giác AMDB là hình gì?
Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:



đáp án và biểu điểm
1: Phân tích:
4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện: 0,5đ
Rút gọn P 2đ
hoặc
+) P =
+) …P = 1đ
P
Ta có:
Vậy Pkhi
x – 5 Ư(2)
Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – 5 = -2 x = 3 (TMĐK)
x – 5 = -1 x = 4 (KTMĐK)
x – 5 = 1 x = 6 (TMĐK)
x – 5 = 2 x = 7 (TMĐK)
KL: x{3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ
P 0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:
a)
ĐK:
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
…
3x.(x + 4) = 0
3x = 0 hoặc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ b)

123 – x0
Do 0
Nên 123 – x = 0 => x = 123
S = {123} 1đ
c)
Ta có: => > 0
nên
PT được viết dưới dạng:

= 5 – 3
= 2
+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 =>