ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN (MŨI NHỌN ) 8

1
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
b)

c) 4x – 12.2x + 32 = 0

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và
.
Tính giá trị của biểu thức:


Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?




ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = 0
2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )

2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0
(2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )

(2x – 23)(2x –22) = 0
2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )

2x = 23 hoặc 2x = 22
x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

Bài 2(1,5 điểm):



yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó:
( 0,25điểm )

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

Bài 3(1,5 điểm):
Gọi
là số phải tìm a, b, c, d
N,
(0,25điểm)

Ta có:






(0,25điểm)
Do đó: m2–k2 = 1353

(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37
k = 56 k = 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng
= 3136 (0,25điểm)


Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng (0,25điểm)
a)
; (0,25điểm)
Tương tự:
;
(0,25điểm)

(0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

(0,5điểm )


c)Vẽ Cx
CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD
BC + CD (0,25điểm)
-
BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2

AB2 + AD2
(BC+CD)2
AB2 + 4CC’2
(BC+AC)2
4CC’2
(BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2
(AB+AC)2 – BC2
4BB’2
(AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)
(AB+BC+AC)2

(0,25điểm)
Đẳng thức xảy ra
BC = AC, AC = AB, AB = BC

AB = AC =BC

ABC đều
Kết luận đúng (0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác