ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6,7,8

UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2016 - 2017
Môn: Toán
Ngày thi: 20 - 4 - 2017
Thời gian làm bài: 120 phút


Bài 1: (4 điểm)
Tính giá trị biểu thức

Chứng minh rằng

với mọi n nguyên dương.
Bài 2: (4 điểm)
Xét đa thức
P(x) = (1- x + x2 - x3+...- x2015 + x2016)(1+ x + x2 + x3+...+ x2015 + x2016)
Khai triển và ước lượng các số hạng đồng dạng có thể viết
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + a4032x4032. Tính a2017.
b) Giải phương trình sau:


Bài 3: (4 điểm)
a) Cho cặp số (x, y) thỏa mãn các điều kiện
- 1 ( x + y ( 1, - 1 ( xy + x + y ( 1.
Chứng minh rằng

b) Xét một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số. Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách nào đó ta được số B. Giả sử rằng
(số tự nhiên gồm n chữ số 1, n (N*).
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của n và chỉ rõ một cặp số tự nhiên A, B để n nhận giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình bình hành ABCD,((A ( (B). Từ C kẻ CK vuông góc với AD, kẻ CE vuông góc với AB, từ B kẻ BH vuông góc với AC.
a) Chứng minh rằng: AB.AE = AH. AC.
b) Kẻ DI vuông góc AC. Chứng minh rằng: AB.AE + AD. AK = AC2.
c) Giả sử AB = BC = 2cm, góc ABC = 1350. Tính diện tích tứ giác ABCD.
d) Gọi giao điểm của AC và BD là O, kẻ EM vuông góc với AC.
Biết EO - EM = 7cm, chu vi tam giác ACE bằng 72cm2. Tính độ dài cạnh AC.
Bài 5: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

--------------------- Hết ---------------------
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: .........................................................
Số báo danh:.........................

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 8 (2016 – 2017)
Bài
Nội dung
Biểu điểm

Bài 1
(4 điểm)
a)

Đặt x = 2016, ta có:


Phân tích tử thành tích các đa thức bậc 1 và rút gọn được P = 1
2,0(điểm)


b) TQ ta có:

Với a = 1, 3, …, 2n – 1. thì:
Vế trái của đẳng thức bằng: VT =

=
= VP (vế phải của đẳng thức cần chứng minh).
2,0(điểm)

Bài 2
(4 điểm)
a) Đặt f(x) = (1-x+x2-x3+...-x2015+x2016)
g(x) = (1+x+x2+x3+...+x2015+x2016)
Để có x2017 của P(x) thì một hạng tử xk (0 ≤ k ≤ 2016) của f(x) phải nhân với hạng tử xm (0 ≤ m ≤ 2016) của g(x) sao cho k + m = 2017.
Suy ra:
- Nếu k = 0 thì m = 2017 không t/m m ≤ 2016.
- Nếu k = 1 thì m = 2016
- Nếu k = 2 thì m = 2015
…
- Nếu k = 2016 thì m = 1.
Vậy a2017.x2017 = ( - x.x2016 + x2.x2015 – x3.x2014 + … + x2016.x )
= ( - 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … - 1 + 1)x2017.
Trong dãy 1, 2, 3, … , 2015, 2016 có 1008 số lẻ và 1008 số chẵn. Các hạng tử với số mũ lẻ của f(x) có hệ số là – 1, các hạng tử với số mũ chẵn của f(x) có hệ số là 1. Như vậy hệ số a2017 của số hạng a2017.x2017 của P(x) là:
a2017 = - 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … - 1 + 1 = 0
2,0(điểm)


b)
ĐKXĐ: mọi x
R





Vì

Nên 4 - x2 = 0

KL: ...
2,0(điểm)