De thi hoc sinh gioi cap huyen mon toan nam 2012 huyn quoc oai




đề thi thử học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán lớp 9
Năm học 2011-2012
( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1: ( 2,5 điểm )
1. So sánh : và
2. Cho biểu thức . Chứng minh rằng
Câu 2: (1,0 điểm )
Chứng minh biểu thức : có giá trị là một số tự nhiên với
Câu 3: ( 2,5 điểm )
1. Giải phương trình sau
2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn
Câu 4: (3,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
1. Chứng minh :
2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.
3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thoả mãn và Chứng minh rằng:





Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán lớp 9
Năm học 2011-2012

Câu
ý
Nội dung
Điểm

Câu 1 2,5 đ



1
1,0đ
Ta có:

Vậy >


0,5

0,25

0,25


2
1,5đ





0,5

0,5
0,5

Câu 2
1,0đ



0,5

0,5

Câu 3
2,5đ
1
1,0đ
ĐK

0,25

0,5


0,25



2
1,0đ
ĐK :
Bình phương hai vế ta được

Do x, y nguyên và y dương nên ta có:




0,5

0,25
0,25


0,25
0,25

Câu 4
3,0đ

















1
1,0đ
Ta có

Trong tam giác AIK vuông tại A ta có: và AB = AD
Từ (1) và (2)
0,25


0,5


0,25


2
1,0đ
Kẻ AH vuông góc với MN Do CM + CN =7 và CM - CN = 1 CM = 4; CN = 3 MN = 5
Ta có
mà
Ta lại có : và
DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6

0,25


0,5



0,25


3
1,0đ
Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật

nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD.
0,25
0,5

0,25

Câu 5
1,0đ

Vì vai trò của a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử : Khi đó vì và nên ta có
.
Mặt khác
Ta xét hai trường hợp của b:
Nếu Khi đó

Nếu Khi đó
Vậy đpcm)