Đề thi học sinh giỏi

Hướng dẫn chấm - Môn Toán 9
Vòng 1
Câu 1: (2.0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b thì :
a. - Có : b5 - b = b(b4 - 1) = (b -1)b(b+1)(b2+1)
- (b -1)b là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.
- (b-1)b(b+1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3.
Do UCLN(2,3) =1 nên (b-1)b(b+1) chia hết cho 6 hay b5 - b chia hết cho 6 .
( Mỗi ý cho 0,25 điểm)
b. - Có : a5b - ab5 = a5b - ab + ab - ab5
= b (a5 - a) - a(b5 - b)
- Có a5 - a chia hết cho 5 với mọi a ( Theo Fermat)
- Do UCLN(5,6) =1 nên a5 - a chia hết cho 30.
- Tương tự b5 - b chia hết cho 30.Suy ra được a5b - ab5 chia hết cho 30.
( Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Câu 2: (1.0 điểm)
Thực hiện rút gọn: A =
Đặt : và
Ta được :A =


Vậy A =
( Mỗi ý cho 0,25 điểm - Phép đặt chỉ có ý nghĩa đơn giản trong trình bày)
Câu 3 : (1,5 điểm)
Chứng minh với mọi giá trị a,b,c thì phương trình
(x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0 (1) luôn có nghiệm.
( x2 - x(a + b) + ab + x2 - x(b + c) + bc + x2 - x(a + c) + ac = 0
( 3x2 -2x(a + b+c) + ab + bc + ac = 0
(’ = (a + b+ c)2 - 3 (ab + bc + ac)
= a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac
2(’ = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac
= ( a -b)2 + (b - c)2 + (c - a)2. (’ ( 0 với mọi giá trị của a,b,c nên (1) luôn có nghiệm .
( Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 4 : Giải phương hệ trình sau :
- Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được x2 + y2 -2xy + x - y = 20
- (x - y )2 + ( x - y) - 20 = 0
- Đặt Y = x - y được Y2 + Y - 20 = 0
- Giải phương trình trên được Y1 = 4 ; Y2 = - 5
- Với Y = 4 được x = y + 4. Thay vào (1) được y + 4 - y( y+4) - y = 7
Giải được nghiệm
- Với Y = - 5 được x = y - 5 .Thay vào (1) được y - 5 - y( y - 5) - y = 7
Giải được nghiệm
- Kết luận nghiệm :
( Mỗi ý cho 0,25 điểm, riêng ý 1 cho 0,50 điểm)
Câu 5 : (3,5 điểm)
( Mỗi ý cho 0,25 điểm - Hình vẽ 0,25 điểm)











a. Có : CMA = AMH và HMB = BMD ( T/c tiếp tuyến)
CMD = 2AMB
Do AMB = 900 nên CMD = 1800 Hay C,M,D thẳng hàng.
OM là đường trung bình của hình thang ABDC nên OM//AC.
OM (CD hay CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
b. Có AC = AH và BD=BH
Nên AC.BD = AH.BH.
Do ( AMB vuông tại