De thi hay

CÁC BÀI TOÁN “TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI”
TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 7

1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số:
Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp (D).
*M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
a- f(x) ( M với mọi x ((D)
b- (x0 ((D) sao cho f(x0) = M Ký hiệu M = max f(x) x ( (D)
*m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập hợp (D) nếu hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
a- f(x) ( m với mọi x ((D)
b- (x0 ((D) sao cho f(x0) = m Ký hiệu m = min f(x) x ( (D)
2) Các kiến thức thường dùng:
a/x2 ( 0 một cách tổng quát
với mọi x, k ( Z
Suy ra
;

b/
;

c/
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu
d/
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu
e/

f/
(y ( 0)
3) Phương pháp giải:
Một trong các phương pháp được sử dụng đối với dạng toán này là phương pháp bất đẳng thức. Cụ thể:
Cho hàm số f(x) có tập xác định (D). Ta cần chứng minh:
a/f(x) ( M hoặc f(x) ( m
b/Chỉ ra trường hợp x = x0 ( (D) sao cho BĐT trở thành đẳng thức.
4) Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ A =
b/ B =



Giải:
a/ Vì
dấu ‘=” xảy ra ( x = 1 suy ra:
( 0 Vậy minA = 0 ( x = 1
b/ B =
( 1 Suy ra min B = 1 ( x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a/ A = -2 -
b/ B =

Giải: a/ Vì
dấu “=” xảy ra ( x = 1 Suy ra A = -2 -
( -2
Vậy max A = -2 ( x = 1.
b/ B =
( 3 suy ra max B = 3 ( x = 2
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a/ A =
b/ B =

Giải: a/ Áp dụng bất đẳng thức:
Dấu “=” xảy ra ( x, y cùng dấu
A =
(
( x(8 – x) ( 0
x
 0 8

x
 - 0 + +

8 – x
 + + 0 -

x(8 – x)
 - 0 + 0 -

 Lập bảng xét dấu:




Vậy: min A = 8 ( 0 ( x ( 8
b/ B =
=
(

Dấu “=” xảy ra ( (x – 3)(5 – x) ( 0 ( 3 ( x ( 5 (lập bảng xét dấu như câu a)
Vậy: min B = 2 ( 3 ( x ( 5
Chú ý: Ta sử dụng
hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để làm triệt tiêu x.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a/ M =

b/ N =

Giải: a/ Đặt M1 =
và M2 =
thì M = M1 + M2 khi đó M có giá trị nhỏ nhất khi M1; M2 đồng thời có giá trị nhỏ nhất.
Tương tự các ví dụ trên ta có min M1 = 5 – 2 = 3 ( 2 ( x ( 5 và min M2 = 4 – 3 = 1 ( 3 ( x ( 4
Vậy: min M = 3 + 1 = 4 ( 3 ( x ( 4
b/
có GTNN bằng 1996 – 1 = 1995 ( 1 ( x ( 1996

có GTNN bằng 1995 – 2 = 1993 ( 2 ( x ( 1995

có GTNN bằng 1994 – 3 = 1991 ( 3 ( x ( 1994
...............................................................................

có GTNN bằng 998 – 997 = 1 ( 997 ( x ( 998
Suy ra: min N = 1+3+5