Đề thi chọn HSG

PHÒNG GD TP BUÔN MA THUỘT
TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH
KỲ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2008 – 2009
Môn: Toán - Thời gian: 90 phút.


Bài 1: (5 điểm) Cho biểu thức

Rút gọn A
Tìm x để A < –1
Bài 2: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
81x4 + 4 2) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009
Bài 3: (4 điểm)
Giải phương trình

Cho ba số x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn
. Chứng minh:

Bài 4: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E tùy ý ( E
B, E
C). Kẻ tia Ax vuông góc với AE, tia Ax cắt đường thẳng CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD tại K, đường thẳng kẻ qua E song song với AB cắt AI ở G
Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi.
Chứng minh AF2 = FK. FC
Khi E thay đổi trên BC. Chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của các tia BA, CB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho BD = 2BA, CE = 2CB, AF = 2AC. Tính tỉ số

Hết.











PHÒNG GD TP BUÔN MA THUỘT
TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH
 KỲ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2008 – 2009
Môn: Toán - Thời gian: 90 phút.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1
5 điểm
Rút gọn A (2,5 điểm)
Điều kiện: x ( 0, x ( ± 3
Rút gọn được

Tìm x để A < –1 (2,5 điểm)






Kết hợp ĐK:
thì A < –1.

0,5
2,0




1,0

1,0

0,5

Bài 2
4 điểm
81x4 + 4 = 81x4 + 36x2 + 4 – 36x2
= (9x2 + 2)2 – (6x)2
= (9x2 + 6x + 2) (9x2 – 6x + 2)
x4 + 2009x2 + 2008x + 2009
= (x4 – x) + 2009(x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + 2009(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 2009)
1,0
0,5
0,5

0,75
0,75
0,5

Bài 3
4 điểm





(Vì
)


Do đó: x2 + 2yz = x2 + 2yz – xy – yz – zx
= (x – y)(x – z)
tương tự có y2 + 2zx = (y – z)(y – x); z2 + 2xy = (z – x)(z – y)
Nên





0,5

0,5

0,5

0,5


0,25

0,75

0,5





0,5

Bài 4
4 điểm
EGFK hình thoi. (1,5)

(cùng phụ với góc EAD)





vuông cân tại A
mà AI là trung tuyến (gt)
( AI ( EF (1)


lại có EG // FK (EG // AB // CD)
nên EGFK là hình bình hành (2)
Từ (1) và (2) suy ra EGFK là hình thoi.
AF2 = FK.FC (1,5)
(AEF cân tại A (cmt), nên trung tuyến AI cũng là phân giác


Do đó (FAK ~ (FCA (g.g)

Khi E thay đổi trên BC. Chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. (1,0)
Ta có KE = KF (EGFK hình thoi)
BE = DF ((ABE = (ADF)
( KE + CE + CK = KF + CE + CK = KD + DF + CE + CK
= (KD + CK) + (BE + CE) = CD + BC
= 2a. Không đổi (a cạnh hình vuông ABCD)









0,75


0,75



0,75