Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRIỆU SƠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN: TOÁN 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề gồm 01 trang)



Bài 1: (4,0 điểm)
a) So sánh:
và
.
b) Chứng minh:
.
c) Cho
và
.
Tính
.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r.
b) Tìm số tự nhiên
sao cho

Bài 3: (6,0 điểm)
a) Cho x; y; z
0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức

b) Cho
. Chứng minh rằng:

c) Cho biểu thức
. Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: (3,0 điểm) Cho
vẽ tia phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Kẻ BH ( Ay tại H, CM ( Ay tại M, BK ( AC tại K. Chứng minh:
a) KC = KA b) BH =
c)
đều.
Bài 5: (3,0 điểm) Cho
ABC có
< 900. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = HC. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.

Ghi chú: Học sinh không được sử dụng các loại máy tính.


Họ và tên thí sinh:.............................................................SBD:............

Họ tên và chữ ký giám thị 1:......................................................................

Họ tên và chữ ký giám thị 2:......................................................................




HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015 – 2016

Câu
Nội dung
Điểm

Bài1: (4,0 điểm)
a)
So sánh:
và

1,0đ



Ta có:
=>
>

0,5đ



Mà 10 =

Vậy:
>
.
0,5đ


b)
Chứng minh:

1,0đ



Ta có:

0,5đ



Suy ra:

Vậy:

0,5đ


c)
Cho
và
. Tính

2,0đ



Ta có:





0,5đ







1,0đ




= S.
Do đó
= 0
0,5đ

Bài 2: (4,0 điểm)
a)
Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r.
2,0đ



Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên)
Hay p = 2.3.7k + r.
0,5đ



Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 7
=> r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r < 42
1,0đ



Học sinh chỉ ra được r = 25
Vậy hợp số r = 25
0,5đ


b)
Tìm số tự nhiên
sao cho

2,0đ



Ta có: (a + b)3 =
là số chính phương nên a + b là số chính phương.
Đặt a + b = x2 (x

)
0,5đ



Suy ra:
= x6
=> x3 =
< 100 và
> 8 => 8 < x3 < 100 => 2 < x < 5 => x = 3; 4 vì x


1,0đ



- Nếu x = 3 =>
= 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = 3 (nhận)
- Nếu x = 4 =>
= 46 = 4096 = 642
(6 + 4)3 = 1000
=> x = 4 (không thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là:
= 27
0,5đ

Bài 3: (6,0 điểm)
a)
Cho x; y; z
0 và x–y–z = 0. Tính giá trị biểu thức

2,0đ



Ta có:

0,5đ



Từ: x – y – z = 0 => x – z = y; y – x