Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

Hướng dẫn chấm

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2015 - 2016

Môn thi: Toán
Ngày 13 tháng 4 năm 2016
(Hướng dẫn chấm có 04 trang, gồm 05 câu)


Câu
Nội dung
Điểm

1
(4,0đ)
a. ĐKXĐ:

Ta có:


Vậy với
ta có
.

0,5



0,5


0,5


b. Ta có:


Ư(2) mà Ư(2) =
.
Từ đó suy ra
.
Kết hợp với ĐKXĐ được x
.

0,5

0,5

0,25


c.

Mà x – 1 < x + 1 nên x – 1 < 0 và x + 1
0
và

Kết hợp với ĐKXĐ được
và



0,5
0,5

0,25

2
(5,0đ)

1. Ta có:










0,5
0,5
0,5
0,5


2. Ta có:



Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
.

0,5
0,25
0,25
0,5


3. Ta có:



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là





0,5


0,5

0,25

0,25

3
(4,0đ)
1. Ta có:





Vì x,y
,
là số nguyên lẻ và
nên


Từ đó suy ra các cặp
cần tìm là
.



0,75

0,5

0,75


2. Ta có: an = 3n2 + 6n + 13 = 3(n + 1)2 + 10.
a. Ta thấy:
Nếu an không chia hết cho 5 thì n + 1 không chia hết cho 5 và an
(mod 5).
Do đó, nếu ai, aj đều không chia hết cho 5 và ai
aj (mod 5) thì
ai + aj
2 + 3
0 (mod 5).
b. Vì n lẻ nên n + 1 chẵn.
Do đó, an
2 (mod 4). Suy ra an không thể là số chính phương.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để an là số chính phương.

0,5


0,5

0,5


0,5

4
(6,0đ)
1.
Hướng dẫn:
a. Tứ giác MINK là hình thoi.
b. Gọi G, H theo thứ tự là giao điểm của MN với AC, AB.
Ta chứng minh:


MG //At
Từ đó suy ra IK
At.





2,0


2,0




2.
Hướng dẫn:
M là trung điểm cạnh AB thì độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ nhất.





2,0

5
(1,0đ)
Do z > 0 nên từ xy2z2 + x2z + y = 3z2, suy ra

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương, ta có:


Theo đề ra, ta có:

Đặt
,
,
(a, b, c > 0), khi đó:

Do a2
2a – 1, b2
2b – 1, c2
2c – 1,
a2 + b2
2ab, b2 + c2
2bc, c2 + a2
2ca.
Suy ra: 3(a2 + b2 + c2)
2(ab + bc + ca + a + b + c) – 3
Mà ab + bc + ca + a + b + c =
.
Do đó: 3(a2 + b2 + c2)
9 ( a2 + b2 + c2
3
Suy ra

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 (
(

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
khi
.



0,25



0,25




0,25


0,25


Chú ý:
Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không