Đề thi chọn HSG

I-Phương trình nghiệm nguyên dạng:
ax + by = c (1) với a, b, c є Z
1.Các định lí:
a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ước của c.
b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c thì nó có vô số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) được cho bởi công thức:


Với t є Z, d = (a,b)
2.Cách giải:
a.Tiến hành qua 5 bước sau: (cách giải chung)
Bước 1: Tìm d = (a,b)
Khi đó ax + by = c ( a1x + b1y = c1
Với a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = 1
Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 2 số a1 và b1
Giả sử :
>
Ta có
a1 =
q0 + r1
b1 = r1q1 + r2
r1 = r2q2 +r3
………………
rn-2 = rn-1 + rn Với rn = 1

Bước 3: Tính a0 +
=

Bước 4: Lấy nghiệm riêng (x0’; y0’) của phương trình a1x + b1y = 1
sao cho :

x0’ = m x0’ = n
hoặc
y0’ = n y0’ = m

Xác định dấu bằng cách thử trực tiếp được (x0’, y0’)
Bước 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ là nghiệm riêng của phương trình
a1x + b1y = c1
( nghiệm tổng quát của phương trình là: x = x0 + b1 t
y = y0 -a1t (với t є Z )
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên
5x - 7y = 3
Hướng dẫn:
Ta nhận thấy (5, 7) = (7, 3) = 1 . Vậy phương trình có nghiệm nguyên
Để giải ta tiến hành các bước:
- Viết thuật toán Ơclit cho 2 số 5 và 7

7 = 5.1 + 2 (

= 1 +
=

5 = 2.2 + 1
- Tìm nghiệm riêng của phương trình 5x - 7y = 1
(x0’, y0’) = (3, 2)
- Tìm nghiệm riêng của phương trình 5x - 7y = 3
là (x0, y0) = (9, 6)
( nghiệm tổng quát của phương trình là:
x = 9 - 7t hay x = 7t + 2
y = 6 - 5t y = 5t + 1 (t є Z )
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên
6x -14 y = 12
Hướng dẫn:
Ta nhận thấy (6 ,14) = (6 ,12) = 2 ( pt có nghiệm ta tiến hành giải như sau:
Bước 1: 6x -14 y = 12 ( 3x - 7y = 6
Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 3 và 7
7 = 3.2 + 1
Bước 3: Tính
= q0 = 2 =

Bước 4: Tìm nghiệm riêng của phương trình
3x - 7y = 1 là (x0’, y0’) = (-2; -1)
Bước 5: Xác định nghiệm riêng của pt 3x - 7y = 6 là (x0; y0) = (-12; -6)
( Nghiệm tổng quát của phương trình 6x -14 y = 12 là
x = -12 - 7t hay x = 7t + 2
y = -6 - 3t y = 3t (t є Z